Resolva o PVI:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você tem aqui é um problema de valor inicial (PVI) envolvendo um sistema de equações diferenciais lineares. A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, e de cálculo diferencial para resolver esse sistema. Basicamente, nosso objetivo é encontrar a função X(t) que satisfaz a equação X^prime = A X com a condição inicial X(0) = 1 -3 2 .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a matriz A que está associada ao sistema:
A = 0 & -1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1
Perceba que essa matriz é uma matriz quadrada 3 times 3. Observando mais de perto, notamos que ela é uma matriz diagonal por blocos, ou seja, ela pode ser dividida em blocos menores que não interagem entre si. Nesse caso, os primeiros dois elementos formam uma matriz 2 times 2 e o último elemento é uma matriz 1 times 1. Isso simplifica nossa vida porque podemos resolver o sistema separadamente para cada bloco.

Passo 3

Vamos separar o sistema em duas partes:
  1. O bloco 2 times 2:
0 & -1 1 & 0
Esse bloco representa um sistema que descreve movimentos circulares ou rotacionais, já que a combinação desses termos resulta em funções trigonométricas nas soluções.
  1. O bloco 1 times 1:
1
Esse bloco é bem simples e representa uma equação diferencial onde a solução é uma função exponencial.

Passo 4

Vamos resolver primeiro o sistema 2 times 2. A equação diferencial fica:
X^prime = 0 & -1 1 & 0 X
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores ( lambda) da matriz 2 times 2. Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante da matriz A - lambda I igual a zero:
det( - lambda & -1 1 & -lambda ) = lambda^2 + 1 = 0
Resolvendo, temos lambda = i e lambda = -i, onde i é a unidade imaginária.

Passo 5

Com os autovalores complexos, sabemos que as soluções do sistema serão funções trigonométricas. A solução geral para esse bloco é:
X(t) = C1 cos(t) sin(t) + C2 -sin(t) cos(t)
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte 1 times 1 do sistema:
z^prime = z
Essa é uma equação diferencial bem simples cuja solução é uma função exponencial:
z(t) = C3 e^t
Onde C3 é uma constante a ser determinada pela condição inicial.

Passo 7

Agora, juntamos as soluções das duas partes para obter a solução geral do sistema completo:
X(t) = C1 cos(t) sin(t) 0 + C2 -sin(t) cos(t) 0 + C3 0 0 e^t

Passo 8

Aplicamos agora a condição inicial X(0) = 1 -3 2 para encontrar as constantes C1, C2 e C3.
Avalie a solução geral em t = 0:
X(0) = C1 1 0 0 + C2 0 1 0 + C3 0 0 1 = 1 -3 2
Igualando os componentes:
  1. C1 = 1
  2. C2 = -3
  3. C3 = 2

Resposta

Portanto, a solução do sistema é:
X(t) = cos(t) - 3 sin(t) sin(t) + 3 cos(t) 2 e^t

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