Beleza, vamos lá! O que você tem aqui é um problema de valor inicial (PVI) envolvendo um sistema de equações diferenciais lineares. A gente vai precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, e de cálculo diferencial para resolver esse sistema. Basicamente, nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz a equação com a condição inicial .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a matriz A que está associada ao sistema:
A = 0 & -1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1
Perceba que essa matriz é uma matriz quadrada 3 times 3. Observando mais de perto, notamos que ela é uma matriz diagonal por blocos, ou seja, ela pode ser dividida em blocos menores que não interagem entre si. Nesse caso, os primeiros dois elementos formam uma matriz 2 times 2 e o último elemento é uma matriz 1 times 1. Isso simplifica nossa vida porque podemos resolver o sistema separadamente para cada bloco.
Passo 3
Vamos separar o sistema em duas partes:
O bloco 2 times 2:
0 & -1 1 & 0
Esse bloco representa um sistema que descreve movimentos circulares ou rotacionais, já que a combinação desses termos resulta em funções trigonométricas nas soluções.
O bloco 1 times 1:
1
Esse bloco é bem simples e representa uma equação diferencial onde a solução é uma função exponencial.
Passo 4
Vamos resolver primeiro o sistema 2 times 2. A equação diferencial fica:
X^prime = 0 & -1 1 & 0 X
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores (lambda) da matriz 2 times 2. Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante da matriz A - lambda I igual a zero: