Resolva o PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! No enunciado, a gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) para um sistema de equações diferenciais lineares:
X^prime = -2 & 1 4 & 1 X com X(0) = -1 2
Aqui, o conteúdo principal é a solução de sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios) da matriz dos coeficientes. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A = A = -2 & 1 4 & 1 $. Os autovalores são os valores de $ \lambda $ que satisfazem a equação característica:
lambda
Onde $ I $ é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos calcular o determinante:
det( -2 - lambda & 1 4 & 1 - lambda ) = (-2 - lambda)(1 - lambda) - (4)(1) = 0
Simplificando:
(-2 - lambda)(1 - lambda) - 4 = ( (-2)(1) + 2lambda - lambda + lambda^2 ) - 4 = lambda^2 - 3lambda - 2 - 4 = lambda^2 - 3lambda - 6 = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática $ \lambda^2 - 3\lambda - 6 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
lambda^2 - 3lambda - 6 = 0
Então, os autovalores são:
lambda = 3 pm raiz9 + 242 = 3 pm raiz332

Passo 5

Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com $ \lambda_1 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} $.
Resolvemos $ (A - \lambda_1 I)\mathbf{v} = \mathbf{0} $:
lambda1 = 3 + raiz332
Vamos simplificar uma das equações:
(A - lambda1 I)v = 0
Podemos escolher $ v_1 = 1 $, então:
-2 - lambda1 & 1 4 & 1 - lambda1 v1 v2 = 0 0
Então, o autovetor correspondente a $ \lambda_1 $ é:
(-2 - lambda1)v1 + v2 = 0 implies v2 = (lambda1 + 2)v1

Passo 6

Fazemos o mesmo para $ \lambda_2 = \frac{3 - \sqrt{33}}{2} $:
lambda2 = 3 - raiz332
Então, o autovetor correspondente a $ \lambda_2 $ é:
v2 = lambda2 + 2 = 3 - raiz332 + 2 = 7 - raiz332

Passo 7

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
X(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Onde $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 8

Aplicamos a condição inicial $ \mathbf{X}(0) = X(0) = -1 2 $:
X(0) = c1 v1 + c2 v2 = -1 2
Isso nos dá um sistema de equações:
c1 + c2 = -1 c1 ( 7 + raiz332 ) + c2 ( 7 - raiz332 ) = 2

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: $ c_2 = -1 - c_1 $
Substituímos na segunda:
c2 = -1 - c1
Simplificamos:
c1 ( 7 + raiz332 ) + (-1 - c1) ( 7 - raiz332 ) = 2
Combina os termos de $ c_1 $:
7 + raiz332 c1 - 7 - raiz332 - 7 - raiz332 c1 = 2
c1
c1 ( 7 + raiz33 - 7 + raiz332 ) - 7 - raiz332 = 2
Multiplicamos tudo por 2 para eliminar o denominador:
c1 ( 2raiz332 ) - 7 - raiz332 = 2
c1 raiz33 - 7 - raiz332 = 2
2 c1 raiz33 - (7 - raiz33) = 4
Então:
2 c1 raiz33 = 11 - raiz33

Resposta

Portanto, a solução do PVI é:
X(t) = ( raiz33 - 36 ) e^( 3 + raiz332 ) t 1 7 + raiz332 + ( -3 - raiz336 ) e^( 3 - raiz332 ) t 1 7 - raiz332

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