Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo! No enunciado, a gente tem um Problema de Valor Inicial (PVI) para um sistema de equações diferenciais lineares:
Aqui, o conteúdo principal é a solução de sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios) da matriz dos coeficientes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz $ A =
$. Os autovalores são os valores de $ \lambda $ que satisfazem a equação característica:
Onde $ I $ é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos calcular o determinante:
Simplificando:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática $ \lambda^2 - 3\lambda - 6 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com $ \lambda_1 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} $.
Resolvemos $ (A - \lambda_1 I)\mathbf{v} = \mathbf{0} $:
Vamos simplificar uma das equações:
Podemos escolher $ v_1 = 1 $, então:
Então, o autovetor correspondente a $ \lambda_1 $ é:
Passo 6
Fazemos o mesmo para $ \lambda_2 = \frac{3 - \sqrt{33}}{2} $:
Então, o autovetor correspondente a $ \lambda_2 $ é:
Passo 7
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
Onde $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 8
Aplicamos a condição inicial $ \mathbf{X}(0) =
$:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: $ c_2 = -1 - c_1 $
Substituímos na segunda:
Simplificamos:
Combina os termos de $ c_1 $:
Multiplicamos tudo por 2 para eliminar o denominador:
Então:
Resposta
Portanto, a solução do PVI é: