Resolva o PVI abaixo usando Transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria envolvida é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente usando a Transformada de Laplace para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI). Para isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas equações, usar as propriedades das transformadas e resolver a equação algébrica resultante para encontrar a solução $ y(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $, e a de $ y’ $ é $ s Y(s) - y(0) $. Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Substituindo as transformadas, temos:
Aqui, substituímos $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = -1 $, e usamos a Transformada de Laplace de $ e^{-t} $, que é $ \frac{1}{s + 1} $.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão:
Agrupando os termos com $ Y(s) $:
Simplificando os constantes:
Passo 5
Isolamos $ Y(s) $ na equação:
Para facilitar, vamos escrever $ s^2 + 2s + 1 $ como $ (s + 1)^2 $:
Passo 6
Para resolver para $ Y(s) $, dividimos ambos os lados por $ (s + 1)^2 $:
Agora, precisamos simplificar a expressão para facilitar a aplicação da Transformada Inversa.
Passo 7
Vamos decompôr $ \frac{2s + 3}{(s + 1)^2} $. Podemos reescrever o numerador:
Então:
Passo 8
Agora, substituímos de volta em $ Y(s) $:
Passo 9
Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separado. Sabemos que:
Aplicando isso com $ a = 1 $:
Resposta
A solução do PVI é: