Resolva o PVI abaixo usando Transformada de Laplace:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A matéria envolvida é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente usando a Transformada de Laplace para resolver o Problema de Valor Inicial (PVI). Para isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas equações, usar as propriedades das transformadas e resolver a equação algébrica resultante para encontrar a solução $ y(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de $ y’’ $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $, e a de $ y’ $ é $ s Y(s) - y(0) $. Aplicando isso na nossa equação:
y''

Passo 3

Substituindo as transformadas, temos:
(s^2 Y(s) - s cdot 2 - (-1)) + 2 (s Y(s) - 2) + Y(s) = 4s + 1
Aqui, substituímos $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = -1 $, e usamos a Transformada de Laplace de $ e^{-t} $, que é $ \frac{1}{s + 1} $.

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão:
s^2 Y(s) - 2s + 1 + 2s Y(s) - 4 + Y(s) = 4s + 1
Agrupando os termos com $ Y(s) $:
Y(s)
Simplificando os constantes:
(s^2 + 2s + 1) Y(s) - 2s + 1 - 4 = 4s + 1

Passo 5

Isolamos $ Y(s) $ na equação:
Y(s)
Para facilitar, vamos escrever $ s^2 + 2s + 1 $ como $ (s + 1)^2 $:
(s^2 + 2s + 1) Y(s) = 2s + 3 + 4s + 1

Passo 6

Para resolver para $ Y(s) $, dividimos ambos os lados por $ (s + 1)^2 $:
Y(s)
Agora, precisamos simplificar a expressão para facilitar a aplicação da Transformada Inversa.

Passo 7

Vamos decompôr $ \frac{2s + 3}{(s + 1)^2} $. Podemos reescrever o numerador:
2s + 3(s + 1)^2
Então:
2s + 3 = 2(s + 1) + 1

Passo 8

Agora, substituímos de volta em $ Y(s) $:
Y(s)

Passo 9

Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separado. Sabemos que:
L^-11s + a = e^-a t
L^-11(s + a)^2 = t e^-a t
L^-11(s + a)^3 = t^22 e^-a t
Aplicando isso com $ a = 1 $:
a = 1

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = e^-t (2 + t + 2 t^2)

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