Seja
uma função de classe
(isto é, duas vezes derivável, com derivada segunda contínua. No Cálculo, prova-se que a curvatura
do gráfico
de
no ponto (
) é dada por
Encontre
, sabendo que
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar todas as funções
, de classe
, cujo gráfico
tem curvatura
identicamente igual a
. Ou seja, devemos resolver a equação diferencial
Passo 2
Reescrevemos a equação como
Para reduzir a ordem, fazemos
. Assim
que é uma EDO de primeira ordem separável.
Passo 3
Separamos variáveis:
Reconhecemos que
logo a integral dá
onde
é constante de integração.
Passo 4
Chamando
, temos
Passo 5
Para encontrar
, integramos
Fazendo
, então
, obtemos
sendo
outra constante de integração.
Passo 6
Concluímos que a família geral de soluções é
definida onde
. Geometricamente, são arcos da metade inferior de um círculo de raio
(curvatura
). A outra escolha de sinal,
, daria
.