Seja f: I R uma função de classe C^2 (isto é, duas vezes derivável, com derivada segunda contínua. No Cálculo, prova-se que a curvatura kappa(x) do gráfico y=f(x) de f no ponto ( x, y ) é dada por
kappa(x)=y^prime prime(1+(y^prime)^2)^3 / 2
Encontre f, sabendo que kappa equiv 1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as funções f:ItoR, de classe C^2, cujo gráfico y=f(x) tem curvatura
kappa(x)=y''l(1+(y')^2r)^3/2
identicamente igual a 1. Ou seja, devemos resolver a equação diferencial
y''l(1+(y')^2r)^3/2=1

Passo 2

Reescrevemos a equação como
y''=l(1+(y')^2r)^3/2
Para reduzir a ordem, fazemos p(x)=y'(x). Assim
p'=dpdx=l(1+p^2r)^3/2,
que é uma EDO de primeira ordem separável.

Passo 3

Separamos variáveis:
integraldpl(1+p^2r)^3/2=integral dx
Reconhecemos que
ddp!l(praiz1+p^2r) =1(1+p^2)^3/2,
logo a integral dá
praiz1+p^2=x+A,
onde A é constante de integração.

Passo 4

Chamando s=x+A, temos
praiz1+p^2=s Longrightarrow p=y'=sraiz1-s^2 =x+Araiz1-(x+A)^2

Passo 5

Para encontrar y, integramos
y=integral y',dx =integralx+Araiz1-(x+A)^2,dx
Fazendo u=1-(x+A)^2, então du=-2(x+A),dx, obtemos
y=-raiz1-(x+A)^2+B,
sendo B outra constante de integração.

Passo 6

Concluímos que a família geral de soluções é
f(x)=B-raiz1-(x+A)^2,
definida onde 1-(x+A)^2>=0. Geometricamente, são arcos da metade inferior de um círculo de raio 1 (curvatura +1). A outra escolha de sinal,
f(x)=B+raiz1-(x+A)^2, daria kappaequiv-1.

Resposta

boxedf(x)=B-raiz1-(x+A)^2, A,BinR, 1-(x+A)^2>=0

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