Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ D\left(D{2}-4\right)(D+1){2} y = 0 $. Esse exercício faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares, e para resolver a gente vai precisar entender como trabalhar com as equações diferenciais de ordem superior, usando o método dos operadores diferenciais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa expressão $ D\left(D{2}-4\right)(D+1){2} y = 0 $. Aqui, $ D $ representa a derivada em relação a $ x $, ou seja, $ D = \frac{d}{dx} $. Então, a equação está escrita em termos de operadores diferenciais aplicados à função $ y(x) $.
Passo 3
Para resolver isso, a gente precisa encontrar a solução geral da equação homogênea associada. Isso envolve encontrar as raízes da equação característica. Vamos primeiro montar essa equação característica.
Passo 4
A equação característica é obtida substituindo $ D $ por $ m $, onde $ m $ é uma constante. Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação característica para encontrar os valores de $ m $:
- $ m = 0 $
- $ m^{2} - 4 = 0 $ → $ m = 2 $ ou $ m = -2 $
- $ (m + 1)^{2} = 0 $ → $ m = -1 $ (com multiplicidade 2)
Passo 6
Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz corresponde a uma parte da solução:
- Para $ m = 0 $: $ y_1 = C_{1} $
- Para $ m = 2 $: $ y_2 = C_{2} e^{2x} $
- Para $ m = -2 $: $ y_3 = C_{3} e^{-2x} $
- Para $ m = -1 $ (multiplicidade 2): $ y_4 = C_{4} e^{-x} $ e $ y_5 = C_{5} x e^{-x} $
Passo 7
Finalmente, juntando todas essas partes, a solução geral da equação diferencial é a soma de todas essas funções:
Resposta
onde $ C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4} $ e $ C_{5} $ são constantes arbitrárias.