Resolva: y=y(x)
D(D^2-4)(D+1)^2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ D\left(D{2}-4\right)(D+1){2} y = 0 $. Esse exercício faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares, e para resolver a gente vai precisar entender como trabalhar com as equações diferenciais de ordem superior, usando o método dos operadores diferenciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa expressão $ D\left(D{2}-4\right)(D+1){2} y = 0 $. Aqui, $ D $ representa a derivada em relação a $ x $, ou seja, $ D = \frac{d}{dx} $. Então, a equação está escrita em termos de operadores diferenciais aplicados à função $ y(x) $.

Passo 3

Para resolver isso, a gente precisa encontrar a solução geral da equação homogênea associada. Isso envolve encontrar as raízes da equação característica. Vamos primeiro montar essa equação característica.

Passo 4

A equação característica é obtida substituindo $ D $ por $ m $, onde $ m $ é uma constante. Então, temos:
D

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação característica para encontrar os valores de $ m $:
  1. $ m = 0 $
  2. $ m^{2} - 4 = 0 $ → $ m = 2 $ ou $ m = -2 $
  3. $ (m + 1)^{2} = 0 $ → $ m = -1 $ (com multiplicidade 2)

Passo 6

Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz corresponde a uma parte da solução:
  • Para $ m = 0 $: $ y_1 = C_{1} $
  • Para $ m = 2 $: $ y_2 = C_{2} e^{2x} $
  • Para $ m = -2 $: $ y_3 = C_{3} e^{-2x} $
  • Para $ m = -1 $ (multiplicidade 2): $ y_4 = C_{4} e^{-x} $ e $ y_5 = C_{5} x e^{-x} $

Passo 7

Finalmente, juntando todas essas partes, a solução geral da equação diferencial é a soma de todas essas funções:

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^2x + C3 e^-2x + C4 e^-x + C5 x e^-x
onde $ C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4} $ e $ C_{5} $ são constantes arbitrárias.

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