Resolva o PVI abaixo:
ld yd t=9 t^2+y-14 y-t y(1)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com uma condição inicial. A equação é:
dydt = 9 t^2 + y - 14 y - t
E a condição inicial é $ y(1) = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise. Multiplicamos ambos os lados por $ (4y - t) $:
(4y - t)
Isso nos dá:
(4y - t)dydt = 9t^2 + y - 1
Aqui, identificamos as funções que fazem parte da equação exata.

Passo 3

Em uma equação diferencial na forma $ M dt + N dy = 0 $, a equação é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ t $.
Identificando:
M dt + N dy = 0
Calculando as derivadas parciais:
M
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial t} $, a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função $ F(t, y) $ tal que:
F(t, y)
Vamos encontrar $ F(t, y) $ integrando $ M $ em relação a $ t $:
dF = M dt + N dy
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.

Passo 5

Agora, derivamos $ F(t, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $ para encontrar $ h(y) $:
F(t, y)
Resolvendo para $ h’(y) $:
y
Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
N
Onde $ C $ é uma constante de integração.

Passo 6

Substituímos $ h(y) $ de volta na expressão de $ F(t, y) $:
h(y)
Agora, usamos a condição inicial $ y(1) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $.

Passo 7

Aplicando a condição inicial:
-3(1)^3 - 0 cdot 1 + 1 + 2(0)^2 = C -3 + 1 = C C = -2

Passo 8

Então, a solução geral da equação é:
-3t^3 - y t + t + 2y^2 = -2
Podemos rearrumar para deixar mais claro:
2y^2 - y t + 3t^3 - t = 2
Essa é a solução implícita da equação diferencial com a condição inicial dada.

Resposta

A solução implícita da equação diferencial com a condição inicial $ y(1) = 0 $ é:
y(1) = 0
Ou, de forma rearranjada:
-3t^3 - y t + t + 2y^2 = -2

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