Resolva o PVI abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com uma condição inicial. A equação é:
E a condição inicial é $ y(1) = 0 $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise. Multiplicamos ambos os lados por $ (4y - t) $:
Isso nos dá:
Aqui, identificamos as funções que fazem parte da equação exata.
Passo 3
Em uma equação diferencial na forma $ M dt + N dy = 0 $, a equação é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ t $.
Identificando:
Calculando as derivadas parciais:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial t} $, a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função $ F(t, y) $ tal que:
Vamos encontrar $ F(t, y) $ integrando $ M $ em relação a $ t $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.
Passo 5
Agora, derivamos $ F(t, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $ para encontrar $ h(y) $:
Resolvendo para $ h’(y) $:
Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
Onde $ C $ é uma constante de integração.
Passo 6
Substituímos $ h(y) $ de volta na expressão de $ F(t, y) $:
Agora, usamos a condição inicial $ y(1) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $.
Passo 7
Aplicando a condição inicial:
Passo 8
Então, a solução geral da equação é:
Podemos rearrumar para deixar mais claro:
Essa é a solução implícita da equação diferencial com a condição inicial dada.
Resposta
A solução implícita da equação diferencial com a condição inicial $ y(1) = 0 $ é:
Ou, de forma rearranjada: