Resolva o PVI abaixo pelo método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
Resumo do enunciado: Resolver o PVI
com condições iniciais
e
. É uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e segundo membro exponencial. Vamos usar: solução da homogênea, método dos coeficientes indeterminados para a particular e aplicação das condições iniciais.
Passo 2
Para a parte homogênea, montamos a equação característica
cuja solução é
e
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Como o segundo membro é
e
já é solução da homogênea (resonância simples), assumimos um particular da forma
Passo 4
Calculamos as derivadas do candidato:
Substituindo em
:
Dentro dos colchetes:
Logo
que deve igualar a
. Assim
e
.
Passo 5
A solução geral do PVI é
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro:
Derivando
:
então em
:
Temos o sistema
Subtraindo a primeira da segunda vem
e
.
Resposta
A solução do PVI é