Resolva o PVI abaixo pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=4 e^t, y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Resumo do enunciado: Resolver o PVI y'' - 3y' + 2y = 4e^t com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. É uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e segundo membro exponencial. Vamos usar: solução da homogênea, método dos coeficientes indeterminados para a particular e aplicação das condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos a equação característica
r^2 - 3r + 2 = 0
cuja solução é r=1 e r=2. Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1 e^t + C2 e^2t

Passo 3

Como o segundo membro é 4e^t e e^t já é solução da homogênea (resonância simples), assumimos um particular da forma
yp(t) = A , t e^t

Passo 4

Calculamos as derivadas do candidato:
yp(t) = A t e^t,
yp'(t) = A e^t(t + 1),
yp''(t) = A e^t(t + 2)
Substituindo em y'' - 3y' + 2y:
yp'' - 3yp' + 2yp = A e^tl[(t + 2) - 3(t + 1) + 2tr]
Dentro dos colchetes:
(t + 2) - 3t - 3 + 2t = -1
Logo
yp'' - 3yp' + 2yp = -A e^t,
que deve igualar a 4e^t. Assim -A = 4 e A = -4.

Passo 5

A solução geral do PVI é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t + C2 e^2t - 4t e^t

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro:
y(0) = C1 + C2 = 0
Derivando y(t):
y'(t) = C1 e^t + 2C2 e^2t - 4e^t(t + 1),
então em t=0:
y'(0) = C1 + 2C2 - 4 = 1
Temos o sistema
C1 + C2 = 0, C1 + 2C2 = 5
Subtraindo a primeira da segunda vem C2 = 5 e C1 = -5.

Resposta

A solução do PVI é
y(t) = -5e^t + 5e^2t - 4t e^t

Exercícios relacionados