Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
lim x 1 f(x)-f(1)x-1 em que f(x)=lrx^2 & se x <= 1 2 x-1 se x>1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limxto1f(x)-f(1)x-1 onde
f(x)=x^2,&x<=12x-1,&x>1. Isso é a definição de derivada em x=1, se o limite existir.

Passo 2

Primeiro, calculamos f(1). Como o pedaço usado é x^2 para x<=1, temos f(1)=1^2=1.

Passo 3

Para o limite pela esquerda ( xto1^-), usamos f(x)=x^2:
f(x)-f(1)x-1=x^2-1x-1=(x-1)(x+1)x-1=x+1
e quando xto1^-, x+1to2.

Passo 4

Para o limite pela direita ( xto1^+), usamos f(x)=2x-1:
f(x)-f(1)x-1=(2x-1)-1x-1=2x-2x-1=2
e esse valor é constante igual a 2.

Passo 5

Como os limites lateral esquerdo e lateral direito coincidem em 2, o limite existe e vale 2.

Resposta

2

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