Resolva o PVI abaixo pelo método da Transformada de Laplace encontrando a função
que satisfaz o PVI:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o problema de encontrar a função
que satisfaz a seguinte equação diferencial com condição inicial:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem. Vamos usar o Método da Transformada de Laplace para resolver. Para isso, precisamos saber o que é a Transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A Transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Aplicando isso na equação
, temos:
Passo 3
Sabemos que a Transformada de Laplace da derivada
é:
E a Transformada de Laplace de
é simplesmente
. Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, substituímos a condição inicial
na equação:
Vamos juntar os termos com
:
Passo 5
Para encontrar
, isolamos ele na equação:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace inversa de
para obter
. Sabemos que:
Aplicando isso:
Resposta
A solução que satisfaz o PVI é: