Resolva o PVI abaixo pelo método da Transformada de Laplace encontrando a função y=y(t) que satisfaz o PVI:
c y^prime+7 y y(0)=11

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o problema de encontrar a função y' + 7y = 0 y(0) = 11 que satisfaz a seguinte equação diferencial com condição inicial:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem. Vamos usar o Método da Transformada de Laplace para resolver. Para isso, precisamos saber o que é a Transformada de Laplace e como aplicá-la em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A Transformada de Laplace de uma função Ly(t) = Y(s) = integral0^infty e^-st y(t) , dt é definida por:
Ly' + 7Ly = L0
Aplicando isso na equação , temos:

Passo 3

Sabemos que a Transformada de Laplace da derivada Ly' = sY(s) - y(0) é:
sY(s) - y(0) + 7Y(s) = 0
E a Transformada de Laplace de é simplesmente . Substituindo na equação:

Passo 4

Agora, substituímos a condição inicial sY(s) - 11 + 7Y(s) = 0 na equação:
(s + 7)Y(s) = 11
Vamos juntar os termos com :

Passo 5

Para encontrar Y(s) = 11s + 7 , isolamos ele na equação:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace inversa de L^-11s + a = e^-at para obter y(t) = 11 cdot e^-7t . Sabemos que:
Aplicando isso:

Resposta

A solução que satisfaz o PVI é:
y(t) = 11, e^-7 t

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