Resolva o PVI abaixo usando Transformada de Laplace:

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) abaixo usando a Transformada de Laplace. O PVI é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais dadas:
l y^prime prime-4 y^prime+4 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=3
Para resolver isso, vamos utilizar as propriedades da Transformada de Laplace aplicadas a equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $, onde $ Y(s) $ é a Transformada de Laplace de $ y(t) $.
Então, aplicando a Transformada de Laplace:
y''(t)
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)

Passo 3

Agora, substituímos os valores das condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 3 $:
y(0) = 1
Simplificando:
y'(0) = 3

Passo 4

Vamos agrupar os termos que contêm $ Y(s) $ e os termos constantes:
Y(s)
Simplificando os termos constantes:
Y(s)(s^2 - 4s + 4) - s - 3 + 4 = 0

Passo 5

Isolamos $ Y(s) $:
Y(s)
Y(s)(s^2 - 4s + 4) = s - 1
Observamos que o denominador pode ser fatorado como $ (s - 2)^2 $, então:
Y(s) = s - 1s^2 - 4s + 4

Passo 6

Vamos simplificar a fração para facilitar a inversa da Transformada de Laplace:
Y(s) = s - 2 + 1(s - 2)^2 = s - 2(s - 2)^2 + 1(s - 2)^2
Simplificando:
Y(s) = 1s - 2 + 1(s - 2)^2

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa utilizando as tabelas de transformadas conhecidas:
L^-11s - 2 = e^2t
L^-11(s - 2)^2 = t e^2t
Portanto:
y(t) = e^2t + t e^2t
Podemos fatorar $ e^{2t} $:
e^2t

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = e^2t(1 + t)

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