Resolva o PVI abaixo usando Transformada de Laplace:
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial (PVI) abaixo usando a Transformada de Laplace. O PVI é uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais dadas:
Para resolver isso, vamos utilizar as propriedades da Transformada de Laplace aplicadas a equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $, onde $ Y(s) $ é a Transformada de Laplace de $ y(t) $.
Então, aplicando a Transformada de Laplace:
Substituindo pelas fórmulas das derivadas:
Passo 3
Agora, substituímos os valores das condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 3 $:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agrupar os termos que contêm $ Y(s) $ e os termos constantes:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Isolamos $ Y(s) $:
Observamos que o denominador pode ser fatorado como $ (s - 2)^2 $, então:
Passo 6
Vamos simplificar a fração para facilitar a inversa da Transformada de Laplace:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa utilizando as tabelas de transformadas conhecidas:
Portanto:
Podemos fatorar $ e^{2t} $:
Resposta
A solução do PVI é: