Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Considere a região R do plano delimitada pelas curvas y=x^2+1, y=9-x^2 e o sólido S obtido pela rotação de R em torno da reta y=-1.
Determine a área de R.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região R limitada pelas parábolas y = x^2 + 1 e y = 9 - x^2. O conteúdo aqui é cálculo de área de região plana usando integração, e vamos precisar determinar os limites de integração e integrar a diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção de y = x^2 + 1 e y = 9 - x^2, igualamos as expressões:
x^2 + 1 = 9 - x^2
Isso dá 2x^2 = 8 e, portanto, x = pm 2.

Passo 3

Entre x = -2 e x = 2, a curva superior é y = 9 - x^2 e a inferior é y = x^2 + 1. Logo, configuramos a integral da área como
A = integral-2^2 l[(9 - x^2) - (x^2 + 1)r] ,dx = integral-2^2 (8 - 2x^2) ,dx

Passo 4

Agora vamos calcular a integral. A antiderivada de 8 - 2x^2 é
8x - 2x^33
Avaliar de -2) a 2
$$\Bigl(8\cdot2 - \tfrac{2\cdot2^3}{3}\Bigr) - \Bigl(8\cdot(-2) - \tfrac{2\cdot(-2)^3}{3}\Bigr)
= \Bigl(16 - \tfrac{16}{3}\Bigr) - \Bigl(-16 + \tfrac{16}{3}\Bigr)
= \tfrac{32}{3} - (-\tfrac{32}{3})
= \tfrac{64}{3}.$$

Passo 5

Portanto, a área da região R é tfrac643.

Resposta

tfrac643

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