Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Considere a região
do plano delimitada pelas curvas
e o sólido
obtido pela rotação de
em torno da reta
.
Determine a área de
.
Considere a região
Determine a área de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região
limitada pelas parábolas
e
. O conteúdo aqui é cálculo de área de região plana usando integração, e vamos precisar determinar os limites de integração e integrar a diferença entre a função superior e a inferior.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção de
e
, igualamos as expressões:
Isso dá
Passo 3
Entre
e
, a curva superior é
e a inferior é
. Logo, configuramos a integral da área como
Passo 4
Agora vamos calcular a integral. A antiderivada de
é
Avaliar de
$$\Bigl(8\cdot2 - \tfrac{2\cdot2^3}{3}\Bigr) - \Bigl(8\cdot(-2) - \tfrac{2\cdot(-2)^3}{3}\Bigr)
= \Bigl(16 - \tfrac{16}{3}\Bigr) - \Bigl(-16 + \tfrac{16}{3}\Bigr)
= \tfrac{32}{3} - (-\tfrac{32}{3})
= \tfrac{32}{3} - (-\tfrac{32}{3})
= \tfrac{64}{3}.$$
Passo 5
Portanto, a área da região
é
.