Resolva o PVI abaixo:
y^1-yt+1=2 t+2, t>-1, y(1)=5-2

Passo 1

Estamos diante de um PVI dado por
y’ - \frac{y}{t+1} = 2t + 2, com t > -1 e condição y(1) = 5 - 2 = 3. Este é um problema de equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-lo.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação no formato padrão
y' + p(t),y = f(t).
Aqui já vemos que
p(t) = -1t+1
e
f(t) = 2t + 2.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral -1t+1 ,dt = e^-ln|t+1| = 1t+1

Passo 4

Multiplicamos a EDO por mu(t)=1/(t+1). O lado esquerdo torna-se a derivada do produto mu(t),y:
ddtl(yt+1r) = 2t+2t+1

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
yt+1 = integral 2,dt = 2t + C,
o que implica
y = (t+1)(2t + C) = 2t^2 + (C+2)t + C

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=3:
3 = 2cdot1^2 + (C+2)cdot1 + C = 4 + 2C
de onde 2C = -1 e C = -tfrac12. Substituindo em y(t) obtemos a solução final.

Resposta

y(t) = 2t^2 + tfrac32,t - tfrac12

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