Resolva o PVI:
(b) y d y=4 x\left(y^{2}+1\right)^{1 / 2} d x, \quad y(0)=1;

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\;y\,dy = 4\,x\sqrt{y^2+1}\,dx,\quad y(0)=1,
que é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo separável. Para resolver, precisamos
  1. separar as variáveis y e x;
  2. integrar ambos os lados;
  3. aplicar a condição inicial para achar a constante de integração;
  4. isolar y.

Passo 2

Separe as variáveis dividindo ambos os lados por \sqrt{y^2+1} e por dx:
\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\,dy = 4x\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada membro:
À esquerda, note que
\frac{d}{dy}\Bigl(\sqrt{y^2+1}\Bigr)=\frac{y}{\sqrt{y^2+1}},
logo
\int \frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\,dy = \sqrt{y^2+1} + C_1.
À direita,
\int 4x\,dx = 2x^2 + C_2.
Juntando as duas integrais (podemos usar uma única constante C):
\sqrt{y^2+1} = 2x^2 + C.

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=1:
\sqrt{1^2+1}= \sqrt{2} = 2\cdot0^2 + C \;\Longrightarrow\;C=\sqrt{2}.
Assim
\sqrt{y^2+1} = 2x^2 + \sqrt{2}.

Passo 5

Eleve ao quadrado e isole y:
y^2 + 1 = \bigl(2x^2 + \sqrt{2}\bigr)^2 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = \bigl(2x^2 + \sqrt{2}\bigr)^2 - 1.
Como y(0)=1>0, escolhemos o ramo positivo:
y = \sqrt{\,(2x^2 + \sqrt{2})^2 - 1\,} =\sqrt{4x^4 + 4\sqrt{2}\,x^2 +1}.

Resposta

y(x)=\sqrt{4x^4 + 4\sqrt{2}\,x^2 +1}.

Exercícios relacionados