Resolva o PVI:
(c) \frac{d x}{d y}=4\left(x^{2}+1\right), \quad x(\pi / 4)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
\frac{d x}{d y} = 4\bigl(x^2+1\bigr),\quad x\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=1.
O conteúdo é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Separe as variáveis, colocando tudo que depende de x de um lado e de y do outro:
\frac{d x}{x^2+1} = 4\,d y.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int \frac{d x}{x^2+1} = \int 4\,d y \quad\Longrightarrow\quad \arctan(x) = 4y + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Use a condição inicial x(\pi/4)=1. Substituindo:
\arctan(1) = 4\cdot\frac{\pi}{4} + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi}{4} = \pi + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{3\pi}{4}.

Passo 5

Substituindo C na expressão de \arctan(x):
\arctan(x) = 4y - \frac{3\pi}{4}.
Aplicando a tangente em ambos os lados, obtemos a solução explícita:
x(y) = \tan\!\Bigl(4y - \tfrac{3\pi}{4}\Bigr).

Resposta

x(y) = \tan\!\Bigl(4y - \tfrac{3\pi}{4}\Bigr).

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