Questão 3: Dada a função y=(x+1)^{5}-5 x-2.
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função
y = (x+1)^{5} - 5x - 2
e pede (a) intervalos de crescimento/decrescimento, (b) extremos locais, (c) concavidade e pontos de inflexão e (d) o esboço do gráfico. Para isso precisaremos calcular a derivada primeira y' (teste de monotonia) e a segunda derivada y'' (teste de concavidade).

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
y' = \frac{d}{dx}\bigl((x+1)^{5} - 5x - 2\bigr) = 5(x+1)^{4} - 5 = 5\bigl((x+1)^{4} - 1\bigr).
Os pontos críticos vêm de (x+1)^{4}-1=0, ou seja
(x+1)^{4} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x+1 = \pm 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \text{ ou } x = -2.
Para determinar o sinal de y', note que (x+1)^{4}-1<0 se |x+1|<1 (isto é, -2<x<0), e (x+1)^{4}-1>0 se |x+1|>1 (isto é, x<-2 ou x>0). Logo:
  • y'>0 em (-\infty,-2)\cup(0,\infty), ou seja, a função é crescente nesses intervalos.
  • y'<0 em (-2,0), ou seja, a função é decrescente aí.

Passo 3

Como y' muda de positivo para negativo em x=-2, há um máximo local em x=-2. O valor é
y(-2) = (-2+1)^{5} - 5(-2) - 2 = (-1)^{5} + 10 - 2 = -1 + 10 - 2 = 7.
Como y' muda de negativo para positivo em x=0, há um mínimo local em x=0. O valor é
y(0) = (0+1)^{5} - 5\cdot 0 - 2 = 1 - 2 = -1.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada para estudar concavidade:
y'' = \frac{d}{dx}\bigl(5(x+1)^{4} - 5\bigr) = 20(x+1)^{3}.
O sinal de y'' dá:
  • y''<0 se x+1<0, ou seja, para x<-1: concavidade para baixo.
  • y''>0 se x+1>0, ou seja, para x>-1: concavidade para cima.
    Em x=-1 há mudança de sinal de y'', logo ponto de inflexão. O valor de y em -1 é
y(-1) = (0)^{5} - 5(-1) - 2 = 0 + 5 - 2 = 3.

Passo 5

Com tudo isso:
  • Cresce até x=-2, atinge máximo local em (-2,7), decresce até x=0, atinge mínimo local em (0,-1), e daí cresce.
  • A concavidade é para baixo até -1, muda em (-1,3) (inflexão) e fica para cima depois.
    O esboço terá esses pontos notáveis e a forma típica de um polinômio de grau 5 com inflexão em -1.

Resposta

(a) Crescente em (-\infty,-2)\cup(0,\infty), decrescente em (-2,0).
(b) Máximo local em \bigl(-2,7\bigr); mínimo local em \bigl(0,-1\bigr).
(c) Concavidade para baixo em (-\infty,-1), para cima em (-1,\infty); ponto de inflexão em (-1,3).
(d) Gráfico cresce até (-2,7), decresce até (0,-1), cresce depois; muda de concavidade em (-1,3).

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