Questão 3: Dada a função
.
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico.
(a) Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
(d) Use as informações das partes (a)-(c) para esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) intervalos de crescimento/decrescimento, (b) extremos locais, (c) concavidade e pontos de inflexão e (d) o esboço do gráfico. Para isso precisaremos calcular a derivada primeira
(teste de monotonia) e a segunda derivada
(teste de concavidade).
Passo 2
Calculamos a derivada primeira:
Os pontos críticos vêm de
, ou seja
Para determinar o sinal de
, note que
se
(isto é,
), e
se
(isto é,
ou
). Logo:
-
em , ou seja, a função é crescente nesses intervalos. -
em , ou seja, a função é decrescente aí.
Passo 3
Como
muda de positivo para negativo em
, há um máximo local em
. O valor é
Como
muda de negativo para positivo em
, há um mínimo local em
. O valor é
Passo 4
Calculamos a segunda derivada para estudar concavidade:
O sinal de
dá:
-
se , ou seja, para : concavidade para baixo. -
se , ou seja, para : concavidade para cima.
Emhá mudança de sinal de , logo ponto de inflexão. O valor de em é
Passo 5
Com tudo isso:
- Cresce até
, atinge máximo local em , decresce até , atinge mínimo local em , e daí cresce. - A concavidade é para baixo até
, muda em (inflexão) e fica para cima depois.
O esboço terá esses pontos notáveis e a forma típica de um polinômio de grau 5 com inflexão em.
Resposta
(a) Crescente em
, decrescente em
.
(b) Máximo local em ; mínimo local em
.
(c) Concavidade para baixo em , para cima em
; ponto de inflexão em
.
(d) Gráfico cresce até , decresce até
, cresce depois; muda de concavidade em
.
(b) Máximo local em
(c) Concavidade para baixo em
(d) Gráfico cresce até