Encontre a derivada da função y^{\prime} e/ou f^{\prime}(x).
f(x)=\ln \left(e^{-x}+x^{2} e^{-x}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(e^{-x}+x^{2}e^{-x}\bigr).
Vamos usar as propriedades de logaritmo (para simplificar) e em seguida a regra da derivada de \ln (regra da cadeia).

Passo 2

Dentro do logaritmo podemos fatorar e^{-x}:
e^{-x}+x^{2}e^{-x}=e^{-x}(1+x^{2}).
Como \ln(ab)=\ln a+\ln b, obtemos
f(x)=\ln\bigl(e^{-x}\bigr)+\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)=-x+\ln(1+x^{2}).

Passo 3

Derivando termo a termo:
  • A derivada de -x é -1.
  • A derivada de \ln(1+x^{2}) é \displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}\cdot(2x)=\frac{2x}{1+x^{2}}.
Somando,
f'(x)=-1+\frac{2x}{1+x^{2}}.

Resposta

f'(x)=-1+\frac{2x}{1+x^{2}}.

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