Usando diferenciais, calcule o valor aproximado para
\sqrt{5}

Passo 1

Enunciado: calcular, usando diferenciais, um valor aproximado para \sqrt{5}.
Informações relevantes dadas/úteis:
  • Queremos aproximar o número \sqrt{5}.
  • A função natural para isso é f(x)=\sqrt{x}.
  • Valores exatos simples próximos de 5 que conhecemos (úteis para linearizar) são, por exemplo, \sqrt{4}=2.

Passo 2

O que são diferenciais e como usamos para aproximar?
  • Seja uma função f(x) diferenciável em um ponto x_0. Se fazemos um pequeno incremento dx em x, então o diferencial df representa a variação aproximada de f quando x varia de x_0 para x_0+dx.
  • A fórmula fundamental é a aproximação linear (linearização, tangente):
f(x_0+dx)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,dx,
onde f'(x_0) é a derivada de f em x_0, e dx=(x_0+dx)-x_0 é o pequeno incremento.
  • Aqui: f(x_0) é o valor conhecido no ponto de referência; f'(x_0) é a taxa de variação instantânea em x_0; dx é o deslocamento em x.

Passo 3

Calculamos a derivada de f(x)=\sqrt{x}.
  • Podemos escrever f(x)=x^{1/2}. Usando a regra de potência,
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Isso significa que a inclinação da tangente em x é \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Escolha do ponto de expansão e cálculo do diferencial:
  • Escolhemos x_0=4 porque é próximo de 5 e \sqrt{4}=2 é conhecido exatamente.
  • O incremento é dx=5-4=1.
  • Avaliamos f(4) e f'(4):
f(4)=\sqrt{4}=2,
f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}.
  • Aplicando a aproximação linear:
\sqrt{5}=f(4+1)\approx f(4)+f'(4)\cdot 1=2+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}=2{,}25.

Passo 5

Estimativa do erro (para nos dar confiança na aproximação):
  • A segunda derivada de f é
f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-3/2}=-\frac{1}{4x^{3/2}}.
  • Em [4,5] a magnitude máxima de |f''(x)| ocorre em x=4 (porque o denominador é menor), então
|f''(x)|\le |f''(4)|=\frac{1}{4\cdot 4^{3/2}}=\frac{1}{4\cdot 8}=\frac{1}{32}.
  • Pelo resto de Taylor na forma Lagrange, o erro absoluto ao usar a aproximação linear com dx=1 satisfaz
\text{erro}\le \frac{1}{2}\max_{[4,5]}|f''(x)|\cdot dx^{2}\le \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{32}\cdot 1^{2}=\frac{1}{64}=0{,}015625.
  • Logo a aproximação 2{,}25 tem erro menor que 0{,}015625, o que dá o intervalo de confiança
\sqrt{5}\in[2{,}25-0{,}015625,\;2{,}25+0{,}015625]=[2{,}234375,\;2{,}265625].

Resposta

2{,}25

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