Usando diferenciais, calcule o valor aproximado para
Passo 1
Enunciado: calcular, usando diferenciais, um valor aproximado para
.
Informações relevantes dadas/úteis:
- Queremos aproximar o número
. - A função natural para isso é
. - Valores exatos simples próximos de
que conhecemos (úteis para linearizar) são, por exemplo, .
Passo 2
O que são diferenciais e como usamos para aproximar?
- Seja uma função
diferenciável em um ponto . Se fazemos um pequeno incremento em , então o diferencial representa a variação aproximada de quando varia de para . - A fórmula fundamental é a aproximação linear (linearização, tangente):
onde
é a derivada de
em
, e
é o pequeno incremento.
- Aqui:
é o valor conhecido no ponto de referência; é a taxa de variação instantânea em ; é o deslocamento em .
Passo 3
Calculamos a derivada de
.
- Podemos escrever
. Usando a regra de potência,
- Isso significa que a inclinação da tangente em
é .
Passo 4
Escolha do ponto de expansão e cálculo do diferencial:
- Escolhemos
porque é próximo de e é conhecido exatamente. - O incremento é
. - Avaliamos
e :
- Aplicando a aproximação linear:
Passo 5
Estimativa do erro (para nos dar confiança na aproximação):
- A segunda derivada de
é
- Em
a magnitude máxima de ocorre em (porque o denominador é menor), então
- Pelo resto de Taylor na forma Lagrange, o erro absoluto ao usar a aproximação linear com
satisfaz
- Logo a aproximação
tem erro menor que , o que dá o intervalo de confiança