Encontre a solução geral da EDO: Y^prime prime-2 Y^prime+2 Y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é: Y'' - 2Y' + 2Y = 0 . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral usando o método das equações características.

Passo 2

Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Fazemos isso assumindo que a solução tem a forma Y = e^r x , onde r é um número que a gente precisa descobrir. Derivando isso, temos:
Y' = r e^r x
Y'' = r^2 e^r x
Substituindo na equação original:
r^2 e^r x - 2r e^r x + 2 e^r x = 0
Dividindo por e^r x (que nunca é zero):
r^2 - 2r + 2 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 - 2r + 2 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 22 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 82 = 2 pm raiz-42
Como a raiz deu negativa, temos números complexos:
r = 1 pm i

Passo 4

Quando as raízes são complexas da forma alpha pm beta i , a solução geral da EDO é:
Y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )
No nosso caso, alpha = 1 e beta = 1 , então substituímos na fórmula.

Passo 5

Portanto, a solução geral da equação Y'' - 2Y' + 2Y = 0 é:
Y(x) = e^x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) )
Onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da EDO é:
Y(x) = e^x ( C1 cos(x) + C2 sin(x) )

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