Encontre a solução geral da EDO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é:
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral usando o método das equações características.
Passo 2
Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Fazemos isso assumindo que a solução tem a forma
, onde
é um número que a gente precisa descobrir. Derivando isso, temos:
Substituindo na equação original:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Como a raiz deu negativa, temos números complexos:
Passo 4
Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral da EDO é:
No nosso caso,
e
, então substituímos na fórmula.
Passo 5
Portanto, a solução geral da equação
é:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da EDO é: