Resolva o PVI:
d yd x=y^2-4x^2-1, com y(2)=0

Passo 1

A gente tem o PVI dfracdydx=dfracy^2-4x^2-1 com condição y(2)=0. Isso é uma EDO de primeira ordem, separável: basta colocar tudo em termos de y de um lado e x do outro e integrar. Para resolver, vamos precisar usar separação de variáveis e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, separe as variáveis escrevendo
nabla ;=; dyy^2-4 ;=; dxx^2-1

Passo 3

Agora, precisamos integrar cada lado. Para isso, usamos frações parciais:
1y^2-4 = 14l(1y-2 - 1y+2r), 1x^2-1 = 12l(1x-1 - 1x+1r)

Passo 4

Integrando ambos os lados, temos
integral dyy^2-4 = 14l(ln|y-2| - ln|y+2|r) + C1, integral dxx^2-1 = 12l(ln|x-1| - ln|x+1|r) + C2

Passo 5

Unindo as integrais e absorvendo constantes em C,
14l(ln|y-2| - ln|y+2|r) = 12l(ln|x-1| - ln|x+1|r) + C

Passo 6

Multiplicando por 4 e reorganizando,
lnl|y-2y+2r| = 2lnl|x-1x+1r| + C' Longrightarrow y-2y+2 = K(x-1)^2(x+1)^2

Passo 7

Aplicando a condição y(2)=0,
0-20+2 = -1 = K(2-1)^2(2+1)^2 = K19 Longrightarrow K = -9

Passo 8

Logo,
y-2y+2 = -9(x-1)^2(x+1)^2

Passo 9

Bastou isolar y. Fazendo as contas (colocando tudo sobre um denominador comum e resolvendo para y), achamos
y(x) = -4l(2x^2 - 5x + 2r)5x^2 - 8x + 5

Resposta

y(x) = -4l(2x^2 - 5x + 2r)5x^2 - 8x + 5

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