Resolva:
x y^prime-2 y=x^3 e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
x,y' - 2y = x^3e^x
Isso é uma equação diferencial linear do tipo y' + p(x)y = q(x). Vamos reescrevê-la nessa forma e usar fator integrante.

Passo 2

Primeiro dividimos toda a equação por x (assumindo xneq0) para obter a forma padrão:
y' - 2x,y = x^2e^x
Aqui temos p(x) = -2/x e q(x)=x^2e^x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = expgl(integral p(x),dxgr) = expl(integral -tfrac2x,dxr) = exp(-2ln|x|) = x^-2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^-2. O lado esquerdo vira a derivada do produto mu(x)y:
(x^-2y)' = x^-2,y' + (-2x^-3),y = e^x
ou seja,
(x^-2y)' = e^x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
x^-2y = integral e^x,dx = e^x + C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando por x^2, obtemos
y = x^2(e^x + C) = x^2e^x + Cx^2

Resposta

y = x^2e^x + Cx^2

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