Resolva:
y^prime=x y+2 yx^2+3 x+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem y' = x y + 2yx^2 + 3x + 2. O conteúdo aqui é equação separável, e vamos precisar identificar que dá para separar as variáveis, integrar ambos os lados e então encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, fatoramos numerador e denominador para simplificar a expressão. No numerador temos x y + 2y = y(x + 2), e no denominador x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2). Assim
y' = y(x + 2)(x + 1)(x + 2) = yx + 1

Passo 3

Agora reconhecemos que é uma equação separável. Podemos escrever
dydx = yx + 1 Longrightarrow dyy = dxx + 1

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados. A integral de 1/y em relação a y é ln|y|, e a de 1/(x+1) em relação a x é ln|x+1|. Ficamos com
integral 1y,dy = integral 1x+1,dx Longrightarrow ln|y| = ln|x+1| + C,

Passo 5

onde C é a constante de integração. Por fim, exponenciando ambos os lados, obtemos
|y| = e^C,|x+1|

Passo 6

Como e^C é uma constante positiva que podemos chamar de K, e ajustamos o sinal para absorver o valor absoluto, a solução geral fica linear em x+1.

Resposta

A solução geral é y = C,(x + 1), onde C é uma constante arbitrária.

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