Determinar a solução geral das Equações Diferenciais:
x d y=(5 y+x+1) d x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,dy=(5y+x+1)\,dx
e pede para determinar a solução geral.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{variáveis: }x\text{ e }y(x);\qquad \text{equação envolvendo }dx\text{ e }dy.áçã
Observação importante: a equação envolve divisão por x ao passarmos para a forma dy/dx, então teremos que trabalhar em x\neq 0.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: escrever a equação na forma padrão dy/dx=\cdots. Dividindo ambos os lados por dx e por x (lembrando x\neq 0):
\frac{dy}{dx}=\frac{5y+x+1}{x}.
Agora desenvolvendo o lado direito:
\frac{dy}{dx}=\frac{5y}{x}+1+\frac{1}{x}.

Passo 3

Vamos reorganizar para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dx}-\frac{5}{x}\,y=1+\frac{1}{x}.
Aqui é útil explicar o conceito: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
onde p(x) e q(x) são funções conhecidas de x. No nosso caso, identificamos
p(x)=-\frac{5}{x},\qquad q(x)=1+\frac{1}{x}.
A técnica padrão para resolver essa equação é o fator integrante (integrating factor).

Passo 4

Definição e cálculo do fator integrante: o fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Substituindo p(x)=-\dfrac{5}{x} temos
\int p(x)\,dx=\int -\frac{5}{x}\,dx=-5\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\big(-5\ln|x|\big)=|x|^{-5}.
Para simplificar a exposição, e lembrando que tratamos x\neq 0, podemos trabalhar com \mu(x)=x^{-5} (o sinal absoluto só importa para a escolha do ramo, a constante de integração irá absorver o sinal se necessário).

Passo 5

Multiplicamos a equação linear por \mu(x)=x^{-5}. O objetivo do fator integrante é transformar o lado esquerdo numa derivada exata:
x^{-5}\frac{dy}{dx}-5x^{-6}y = x^{-5}\left(1+\frac{1}{x}\right).
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^{-5}y:
\frac{d}{dx}\big(x^{-5}y\big)=x^{-5}+\;x^{-6}.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-5}y\big)\,dx=\int \left(x^{-5}+x^{-6}\right)\,dx.
O lado esquerdo dá x^{-5}y. No lado direito calculamos as primitivas termo a termo:
\int x^{-5}\,dx=\frac{x^{-4}}{-4}=-\frac{1}{4}x^{-4}, \qquad \int x^{-6}\,dx=\frac{x^{-5}}{-5}=-\frac{1}{5}x^{-5}.
Assim obtemos
x^{-5}y=-\frac{1}{4}x^{-4}-\frac{1}{5}x^{-5}+C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 7

Isolando y: multiplicamos ambos os lados por x^{5} (novamente lembrando x\neq 0):
y = Cx^{5} -\frac{1}{4}x -\frac{1}{5}.
Aqui C continua sendo a constante arbitrária real. Esta é a solução geral válida para x\neq 0.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução candidata \;y(x)=Cx^{5}-\tfrac{1}{4}x-\tfrac{1}{5}\; obtemos
\frac{dy}{dx}=5C x^{4}-\frac{1}{4}.
Substituindo na equação original x\,dy=(5y+x+1)\,dx você pode verificar que ambos os lados coincidem, confirmando que a solução está correta.

Resposta

y=Cx^{5}-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{5} (para x\neq 0, com C constante real)

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