Determinar a solução geral das Equações Diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar a solução geral.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Observação importante: a equação envolve divisão por
ao passarmos para a forma
, então teremos que trabalhar em
.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: escrever a equação na forma padrão
. Dividindo ambos os lados por
e por
(lembrando
):
Agora desenvolvendo o lado direito:
Passo 3
Vamos reorganizar para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui é útil explicar o conceito: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
são funções conhecidas de
. No nosso caso, identificamos
A técnica padrão para resolver essa equação é o fator integrante (integrating factor).
Passo 4
Definição e cálculo do fator integrante: o fator integrante
é dado por
Substituindo
temos
Portanto
Para simplificar a exposição, e lembrando que tratamos
, podemos trabalhar com
(o sinal absoluto só importa para a escolha do ramo, a constante de integração irá absorver o sinal se necessário).
Passo 5
Multiplicamos a equação linear por
. O objetivo do fator integrante é transformar o lado esquerdo numa derivada exata:
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo dá
. No lado direito calculamos as primitivas termo a termo:
Assim obtemos
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 7
Isolando
: multiplicamos ambos os lados por
(novamente lembrando
):
Aqui
continua sendo a constante arbitrária real. Esta é a solução geral válida para
.
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução candidata
obtemos
Substituindo na equação original
você pode verificar que ambos os lados coincidem, confirmando que a solução está correta.