Determinar a solução geral das Equações Diferenciais:
(x+1) \frac{d y}{d x}+2 y=e^{x}(x+1)^{-1}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
(x+1)\frac{dy}{dx}+2y = e^{x}(x+1)^{-1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A equação envolve a derivada de y em relação a x.
  • Há um fator multiplicador (x+1) na frente de \frac{dy}{dx}; isso exige cuidado em x=-1 (não podemos dividir por zero ali).
  • A tarefa é encontrar a solução geral y(x) definida em intervalos onde a equação é válida (ou seja, em x\neq -1).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividimos toda a equação por (x+1) (válido quando x\neq -1) para obter
\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x+1}\,y = \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}}.
Aqui identifiquei as funções:
p(x)=\frac{2}{x+1},\qquad q(x)=\frac{e^{x}}{(x+1)^{2}}.
Essas são as funções que aparecem na forma padrão \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x).

Passo 3

Explicar o método do fator integrante (integrating factor). A ideia: multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo vire a derivada de \mu(x)y. A escolha padrão é
\mu(x)=\exp\left(\int p(x)\,dx\right).
Nessa fórmula, \int p(x)\,dx é uma antiderivada de p. A função \mu é chamada fator integrante; multiplicando a equação por \mu torna possível integrar diretamente.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(x). Temos
\int p(x)\,dx = \int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\int \frac{1}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1| = \ln|x+1|^{2}.
Portanto
\mu(x)=\exp\big(\ln|x+1|^{2}\big)=|x+1|^{2}.
Como |x+1|^{2}=(x+1)^{2} para qualquer x, podemos tomar
\mu(x)=(x+1)^{2}.
(O sinal absoluto some porque estamos elevando ao quadrado.)

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=(x+1)^{2}. A equação \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) multiplicada por \mu fica
(x+1)^{2}\frac{dy}{dx} + (x+1)^{2}\frac{2}{x+1}\,y = (x+1)^{2}\frac{e^{x}}{(x+1)^{2}}.
Simplificando o segundo termo do lado esquerdo e o lado direito:
(x+1)^{2}\frac{dy}{dx} + 2(x+1)\,y = e^{x}.
Pelo design do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto (x+1)^{2}y. De fato, aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big[(x+1)^{2}y\big] = (x+1)^{2}\frac{dy}{dx} + 2(x+1)\,y.
Logo a equação fica
\frac{d}{dx}\big[(x+1)^{2}y\big] = e^{x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x. Temos
\int \frac{d}{dx}\big[(x+1)^{2}y\big]\,dx = \int e^{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo recupera o próprio produto, e a integral do lado direito é direta:
(x+1)^{2}y = \int e^{x}\,dx = e^{x} + C,
onde C é constante de integração.
Observação: outra forma (equivalente) seria ter simplificado antes de integrar — eu optei pela forma direta porque a integral de e^x é simples.

Passo 7

Resolver para y dividindo por (x+1)^{2} (novamente lembrando x\neq -1):
y(x)=\frac{e^{x}+C}{(x+1)^{2}}.
Podemos distribuir para escrever de forma alternativa
y(x)=\frac{x e^{x}}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{(x+1)^{2}}
se quisermos enfatizar um termo particular; mas note que essa forma veio de outra forma de integrar (ambas equivalentes depois de ajustar a constante). Mantemos a forma mais direta obtida: y=(e^{x}+C)/(x+1)^{2}.

Passo 8

Comentário final e domínio da solução. A solução geral é
y(x)=\frac{e^{x}+C}{(x+1)^{2}},
definida para x\neq -1. Em aplicações ou na prova, é bom mencionar que a equação original não é definida em x=-1, então a solução geral vale em cada intervalo que não contenha -1 (por exemplo, em (-\infty,-1) e em (-1,\infty)).

Resposta

y(x)=\frac{e^{x}+C}{(x+1)^{2}},\quad x\neq -1.

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