Determinar a solução geral das Equações Diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e observações iniciais:
- A equação envolve a derivada de
em relação a . - Há um fator multiplicador
na frente de ; isso exige cuidado em (não podemos dividir por zero ali). - A tarefa é encontrar a solução geral
definida em intervalos onde a equação é válida (ou seja, em ).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividimos toda a equação por
(válido quando
) para obter
Aqui identifiquei as funções:
Essas são as funções que aparecem na forma padrão
.
Passo 3
Explicar o método do fator integrante (integrating factor). A ideia: multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo vire a derivada de
. A escolha padrão é
Nessa fórmula,
é uma antiderivada de
. A função
é chamada fator integrante; multiplicando a equação por
torna possível integrar diretamente.
Passo 4
Calcular o fator integrante
. Temos
Portanto
Como
para qualquer
, podemos tomar
(O sinal absoluto some porque estamos elevando ao quadrado.)
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por
. A equação
multiplicada por
fica
Simplificando o segundo termo do lado esquerdo e o lado direito:
Pelo design do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto
. De fato, aplicando a regra do produto:
Logo a equação fica
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
. Temos
A integral do lado esquerdo recupera o próprio produto, e a integral do lado direito é direta:
onde
é constante de integração.
Observação: outra forma (equivalente) seria ter simplificado antes de integrar — eu optei pela forma direta porque a integral de
é simples.
Passo 7
Resolver para
dividindo por
(novamente lembrando
):
Podemos distribuir para escrever de forma alternativa
se quisermos enfatizar um termo particular; mas note que essa forma veio de outra forma de integrar (ambas equivalentes depois de ajustar a constante). Mantemos a forma mais direta obtida:
.
Passo 8
Comentário final e domínio da solução. A solução geral é
definida para
. Em aplicações ou na prova, é bom mencionar que a equação original não é definida em
, então a solução geral vale em cada intervalo que não contenha
(por exemplo, em
e em
).