Resolva o PVI e determine o intervalo de validade da solução.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que pede: encontrar a solução que satisfaz a condição inicial e determinar o intervalo de validade dessa solução. Vou listar as informações importantes:
- A equação pode ser escrita na forma padrão de primeira ordem dividindo por
. - Há uma condição inicial em
que fixa a constante de integração. - O domínio indicado é
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
. Dividindo ambos os lados por
(válido para
) obtemos
Aqui vemos que é uma equação de Bernoulli do tipo
com
,
e
.
Passo 3
Explicar a técnica (aula rápida de Bernoulli): para a equação de Bernoulli
fazemos a substituição
Isto transforma a equação não linear numa linear para
. No nosso caso
, então
Vou calcular
em termos de
e
:
Ou seja,
Passo 4
Substituir
na equação original escrita em forma padrão. Partimos de
Substituindo
e dividindo convenientemente por
(note que isso exige
; a solução que encontrarmos será verificada quanto a zeros), obtemos
Como
, isto simplifica para
Multiplicando por
para ficar numa forma padrão:
Pronto: é uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 5
Resolver a equação linear
Calcular o fator integrante
:
Multiplicando a equação por
obtemos
o que é a derivada do produto:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Multiplicando por
dá
Passo 6
Voltar à variável
. Lembre que
, então
Inverter para obter
:
Fazer uma simplificação útil: escrever o denominador com um único frac:
logo
Outra forma mais limpa é multiplicar numerador e denominador por
:
Portanto a solução geral implícita (antes de fixar
) é
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
em
obtemos
Isto implica
, portanto
e
Substituindo
em
obtemos
Como a condição inicial tem
(negativo), escolhemos o sinal negativo da raiz. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
Verificação rápida no ponto inicial: para
a raiz é
, e o sinal negativo dá
, como pedido.
Passo 8
Determinar o intervalo de validade. Observações importantes:
- A eq. original depois de dividida por
exige ; o enunciado já fixou . - A expressão dentro da raiz é
. Para temos e , portanto o quociente é positivo para todo . Não há ponto onde o denominador se anula no semi-eixo positivo. - Assim a solução explícita é bem definida para todo
. Além disso a função do lado direito da forma normal é contínua em sempre que , garantindo existência e unicidade local e estendendo-se globalmente em sem singularidades da solução encontrada.
Portanto o maior intervalo de validade que contém o ponto inicial
é o semi-eixo
Resposta
Intervalo de validade: