Resolva o PVI e determine o intervalo de validade da solução.
x^{2} y^{\prime}+2 x y=y^{3}, x>0, y(1)=-1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
x^{2}y'+2xy=y^{3},\qquad x>0,\qquad y(1)=-1.
O que pede: encontrar a solução que satisfaz a condição inicial e determinar o intervalo de validade dessa solução. Vou listar as informações importantes:
  • A equação pode ser escrita na forma padrão de primeira ordem dividindo por x^{2}.
  • Há uma condição inicial em x=1 que fixa a constante de integração.
  • O domínio indicado é x>0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão y'+P(x)y=Q(x)y^{n}. Dividindo ambos os lados por x^{2} (válido para x>0) obtemos
y'+\frac{2}{x}y=\frac{y^{3}}{x^{2}}.
Aqui vemos que é uma equação de Bernoulli do tipo
y'+P(x)y=Q(x)y^{n}
com P(x)=\dfrac{2}{x}, Q(x)=\dfrac{1}{x^{2}} e n=3.

Passo 3

Explicar a técnica (aula rápida de Bernoulli): para a equação de Bernoulli y'+P(x)y=Q(x)y^{n} fazemos a substituição
u=y^{1-n}.
Isto transforma a equação não linear numa linear para u. No nosso caso n=3, então
u=y^{1-3}=y^{-2}.
Vou calcular u' em termos de y e y':
u'=(-2)y^{-3}y'.
Ou seja,
y'=-\tfrac{1}{2}y^{3}u'.

Passo 4

Substituir y' na equação original escrita em forma padrão. Partimos de
y'+\frac{2}{x}y=\frac{y^{3}}{x^{2}}.
Substituindo y'=-\tfrac{1}{2}y^{3}u' e dividindo convenientemente por y^{3} (note que isso exige y\neq0; a solução que encontrarmos será verificada quanto a zeros), obtemos
-\tfrac{1}{2}u'+\frac{2}{x}y\cdot y^{-3}=\frac{1}{x^{2}}.
Como y\cdot y^{-3}=y^{-2}=u, isto simplifica para
-\tfrac{1}{2}u'+\frac{2}{x}u=\frac{1}{x^{2}}.
Multiplicando por -2 para ficar numa forma padrão:
u'-\frac{4}{x}u=-\frac{2}{x^{2}}.
Pronto: é uma equação linear de primeira ordem para u.

Passo 5

Resolver a equação linear
u'-\frac{4}{x}u=-\frac{2}{x^{2}}.
Calcular o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\Big(\int -\frac{4}{x}\,dx\Big)=\exp(-4\ln x)=x^{-4}.
Multiplicando a equação por \mu(x)=x^{-4} obtemos
x^{-4}u' -\frac{4}{x}x^{-4}u = -2x^{-6},
o que é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{-4}u\big)=-2x^{-6}.
Integrando ambos os lados em relação a x:
x^{-4}u=\int -2x^{-6}\,dx = -2\cdot\frac{x^{-5}}{-5} + C = \frac{2}{5}x^{-5}+C.
Multiplicando por x^{4}
u=\frac{2}{5}x^{-1}+C x^{4}.

Passo 6

Voltar à variável y. Lembre que u=y^{-2}, então
y^{-2}=\frac{2}{5}x^{-1}+C x^{4}.
Inverter para obter y^{2}:
y^{2}=\frac{1}{\dfrac{2}{5}x^{-1}+Cx^{4}}.
Fazer uma simplificação útil: escrever o denominador com um único frac:
\frac{2}{5}x^{-1}+Cx^{4}=\frac{1}{5}\big(2x^{-1}+5C x^{4}\big),
logo
y^{2}=\frac{5}{2x^{-1}+5C x^{4}}.
Outra forma mais limpa é multiplicar numerador e denominador por x:
y^{2}=\frac{5x}{2+5C x^{5}}.
Portanto a solução geral implícita (antes de fixar C) é
y=\pm\sqrt{\frac{5x}{2+5C x^{5}}}.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(1)=-1 para determinar C. Substituindo x=1 e y=-1 em y^{2}=\dfrac{5x}{2+5C x^{5}} obtemos
1=\frac{5\cdot 1}{2+5C\cdot 1}=\frac{5}{2+5C}.
Isto implica 2+5C=5, portanto 5C=3 e
C=\frac{3}{5}.
Substituindo C=\dfrac{3}{5} em y^{2}=\dfrac{5x}{2+5C x^{5}} obtemos
y^{2}=\frac{5x}{2+5\cdot\frac{3}{5}x^{5}}=\frac{5x}{2+3x^{5}}.
Como a condição inicial tem y(1)=-1 (negativo), escolhemos o sinal negativo da raiz. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=-\sqrt{\frac{5x}{2+3x^{5}}}.
Verificação rápida no ponto inicial: para x=1 a raiz é \sqrt{\dfrac{5}{5}}=1, e o sinal negativo dá y(1)=-1, como pedido.

Passo 8

Determinar o intervalo de validade. Observações importantes:
  • A eq. original depois de dividida por x^{2} exige x\neq0; o enunciado já fixou x>0.
  • A expressão dentro da raiz é \dfrac{5x}{2+3x^{5}}. Para x>0 temos 5x>0 e 2+3x^{5}>2>0, portanto o quociente é positivo para todo x>0. Não há ponto onde o denominador 2+3x^{5} se anula no semi-eixo positivo.
  • Assim a solução explícita é bem definida para todo x>0. Além disso a função do lado direito da forma normal y'=\dfrac{y^{3}-2xy}{x^{2}} é contínua em (x,y) sempre que x>0, garantindo existência e unicidade local e estendendo-se globalmente em x>0 sem singularidades da solução encontrada.
Portanto o maior intervalo de validade que contém o ponto inicial x=1 é o semi-eixo
(0,\infty).

Resposta

y(x)=-\sqrt{\dfrac{5x}{2+3x^{5}}}
Intervalo de validade: (0,\infty)

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