Determine a solução dos Problemas de Valor Inicial (PVI) dados. Desenhe o gráfico da solução e descreva o comportamento de cada uma delas no infinito:
y^prime=y^2-x, com y(2)=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) para resolver. O enunciado é:
y' = y^2 - x, com y(2) = 5
Vamos trabalhar com equações diferenciais do primeiro grau que são não lineares devido ao termo y^2 . Para resolver isso, vamos precisar usar alguns métodos de substituição para simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
dydx = y^2 - x
Como essa equação é não linear por causa de y^2 , vamos tentar uma substituição para torná-la mais fácil de resolver. Vamos definir v = 1y . Assim:
y = 1v
Calculando a derivada de y em relação a x :
dydx = -v'v^2
Substituindo na equação original:
-v'v^2 = ( 1v )^2 - x
Simplificando:
-v' = 1 - x v^2
v' = x v^2 - 1
Agora, temos uma equação diferencial para v que ainda é não linear, mas podemos tentar resolver usando métodos adequados.

Passo 3

Vamos reescrever a equação obtida:
dvdx = x v^2 - 1
Essa equação ainda é complicada, mas podemos tentar separar as variáveis. Vamos rearranjar os termos:
dvx v^2 - 1 = dx
Agora, vamos integrar ambos os lados.

Passo 4

A integração do lado esquerdo não é trivial, mas podemos resolver usando frações parciais ou métodos de substituição. Contudo, a integral resulta em uma expressão que não é facilmente invertida para encontrar v em função de x . Isso indica que a solução da equação diferencial pode não ser expressa em termos de funções elementares.

Passo 5

Dado que encontrar uma solução explícita é complicado, podemos concluir que a solução geral da equação diferencial envolve funções que não podem ser expressas de forma simples. No entanto, podemos descrever o comportamento da solução com base na análise da equação.

Passo 6

Para entender o comportamento da solução no infinito, observamos que:
  • À medida que x aumenta, o termo x v^2 domina, o que sugere que v tende a crescer ou decrescer dependendo da direção.
  • Isso implica que y = 1v tenderá a zero ou a crescer sem limite, dependendo das condições iniciais.
Como o ponto inicial dado é y(2) = 5 , temos uma solução que começa positiva e, conforme x cresce, y diminuirá em direção a zero.

Resposta

A solução do problema de valor inicial y' = y^2 - x com y(2) = 5 não pode ser expressa em termos de funções elementares. Contudo, a solução satisfaz y(x) iniciando em 5 quando x = 2 e tende a zero conforme x se aproxima do infinito. O gráfico da solução apresenta uma curva que decresce suavemente em direção ao eixo x à medida que x aumenta sem limite.

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