Verifique se é exata e resolva:
d x+\left(x^{3}+3 x y^{2}\right) d y=0)
d x+\left(x^{3}+3 x y^{2}\right) d y=0)
Passo 1
O enunciado pede para checar se a equação diferencial
é exata e, se for, encontrar sua solução geral. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas, e vamos precisar usar a condição de exatidão através das derivadas parciais e depois determinar a função potencial
.
Passo 2
Identificamos as funções
$$M(x,y)=3x^{2}y + y^{3}, \quad N(x,y)=x^{3} + 3xy^{2}.
\frac{\partial M}{\partial y}=3x{2}+3y{2}, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=3x{2}+3y{2}.
$$
Como são iguais, a equação é exata.
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Para encontrar a função potencial
, usamos
Integramos em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
.
Passo 4
Agora obrigamos
a coincidir com
. Logo
Assim
Passo 5
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
ou, factorizando,
Resposta
A solução implícita geral é
ou equivalentemente