Verifique se é exata e resolva:
d x+\left(x^{3}+3 x y^{2}\right) d y=0)

Passo 1

O enunciado pede para checar se a equação diferencial
(3x^2y + y^3),dx + (x^3 + 3xy^2),dy = 0
é exata e, se for, encontrar sua solução geral. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas, e vamos precisar usar a condição de exatidão através das derivadas parciais e depois determinar a função potencial Phi(x,y).

Passo 2

Identificamos as funções
$$M(x,y)=3x^{2}y + y^{3}, \quad N(x,y)=x^{3} + 3xy^{2}.
M(x,y)=3x^2y + y^3, N(x,y)=x^3 + 3xy^2 ã
\frac{\partial M}{\partial y}=3x{2}+3y{2}, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=3x{2}+3y{2}.
$$
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar a função potencial Phi(x,y), usamos
partial Phipartial x=M(x,y)=3x^2y + y^3
Integramos em relação a x:
Phi(x,y)=integral(3x^2y + y^3),dx = x^3y + xy^3 + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Agora obrigamos
partial Phipartial y=x^3 + 3xy^2 + h'(y)
a coincidir com N(x,y)=x^3+3xy^2. Logo
h'(y)=0 implies h(y)=C1
Assim
Phi(x,y)=x^3y + xy^3 + C1

Passo 5

A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
Phi(x,y)=C implies x^3y + xy^3=C,
ou, factorizando,
xyl(x^2+y^2r)=C

Resposta

A solução implícita geral é
x^3y + xy^3=C,
ou equivalentemente
xy(x^2+y^2)=C

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