Resolva o PVI por fator integrante e escreva a solução explícita y(x) :
y^{\prime}+\frac{2}{x} y=x^{2}, \quad y(1)=0 \quad(x>0)

Passo 1

O problema é o PVI
y' + \frac{2}{x}y = x^{2},\quad y(1)=0,\quad x>0,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato
y' + P(x)\,y = Q(x).
Vamos resolver por fator integrante para obter y(x) explicitamente.

Passo 2

Aqui P(x)=\tfrac{2}{x}. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp(2\ln x) = x^{2}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x)=x^{2} fica
x^{2}y' + 2x\,y = x^{4}.
O lado esquerdo é a derivada de x^{2}y, ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr) = x^{4}.
Integramos em x:
x^{2}y = \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5} + C,
sendo C a constante de integração.

Passo 4

Isolando y obtemos
y = \frac{x^{5}/5 + C}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{5} + C\,x^{-2}.
Aplicando a condição inicial y(1)=0
0 = \frac{1^{3}}{5} + C\cdot1^{-2} = \frac{1}{5} + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac{1}{5}.

Passo 5

Substituindo C=-\tfrac{1}{5} na expressão de y resulta
y(x) = \frac{x^{3}}{5} - \frac{1}{5}\,x^{-2}.

Resposta

y(x)=\frac{x^{3}}{5}-\frac{1}{5x^{2}}.

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