Use o método do fator integrante e determine y(x) :
y^{\prime}+(\tan x) y=\sin x, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de primeira ordem
y'+(\tan x)\,y=\sin x,
com condição inicial y(0)=2. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos P(x)=\tan x. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\biggl(\int P(x)\,dx\biggr) =\exp\!\Bigl(\int \tan x\,dx\Bigr) =\exp\bigl(-\ln|\cos x|\bigr) =\frac1{\cos x}\,.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x), obtemos
\frac{1}{\cos x}\,y' + \frac{\tan x}{\cos x}\,y =\frac{\sin x}{\cos x}\,.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de \tfrac{y}{\cos x}, pois
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{\cos x}\Bigr) =\frac{1}{\cos x}\,y' + \frac{\sin x}{\cos^2 x}\,y =\frac{1}{\cos x}\,y' + \frac{\tan x}{\cos x}\,y.

Passo 4

Logo a equação fica
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{\cos x}\Bigr) =\tan x.
Integramos ambos os lados:
\frac{y}{\cos x} =\int \tan x\,dx =-\ln\bigl|\cos x\bigr| + C.

Passo 5

Isolando y, vem
y =\cos x\,\bigl(-\ln|\cos x| + C\bigr).

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=2. Como \cos0=1 e \ln|\cos0|=0, temos
2 = y(0) = 1\cdot(-0 + C)\quad\Longrightarrow\quad C=2.

Resposta

y(x)=\cos x\,\bigl(2-\ln|\cos x|\bigr).

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