Resolva o PVI:
y^{\prime}-3 y=e^{2 x}, \quad y(\ln 2)=1

Passo 1

O enunciado nos dá um problema de valor inicial para uma equação diferencial linear de primeira ordem
y' - 3y = e^{2x},
com condição y(\ln 2)=1.
O conteúdo envolve o uso do fator integrante para resolver equações lineares e depois impor a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x). Para uma equação da forma y' + P(x)y = Q(x), temos
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,\mathrm{d}x\Bigr).
Aqui P(x)=-3, logo
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -3\,\mathrm{d}x\Bigr) = e^{-3x}.
Multiplicando a equação original por e^{-3x} obtemos
e^{-3x}y' - 3e^{-3x}y = e^{-3x}e^{2x} = e^{-x}.
O lado esquerdo é o derivado de e^{-3x}y:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(e^{-3x}y\bigr) = e^{-x}.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(e^{-3x}y\bigr)\,\mathrm{d}x = \int e^{-x}\,\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad e^{-3x}y = -e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração.
Isolando y, temos a solução geral
y(x) = -e^{2x} + C\,e^{3x}.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(\ln 2)=1. Substituindo x=\ln 2:
1 = -e^{2\ln 2} + C\,e^{3\ln 2} = -\bigl(e^{\ln 2}\bigr)^2 + C\,\bigl(e^{\ln 2}\bigr)^3 = -2^2 + C\cdot 2^3 = -4 + 8C.
Logo
8C = 1 + 4 = 5 \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{5}{8}.

Resposta

Substituindo C=\tfrac{5}{8} na solução geral, obtemos
\boxed{y(x) = \frac{5}{8}\,e^{3x} - e^{2x}}.

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