Resolva o PVI: \frac{d y}{d t}+\frac{2}{t} y=\frac{\cos t}{t^{2}}, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0. Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita y=y(x) (ou y=y(t) ) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\frac{dy}{dt}+\frac{2}{t}y=\frac{\cos t}{t^{2}},\qquad y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
As perguntas pedidas são:
  • Verificar a existência e unicidade de solução (ou seja, dizer em que intervalo a solução existe e é única).
  • Identificar a priori o(s) tipo(s) da equação.
  • Determinar explicitamente a solução y=y(t) quando possível.
  • Verificar que a condição inicial é satisfeita.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial envolve as funções de coeficiente \displaystyle p(t)=\frac{2}{t} e termo não-homogêneo \displaystyle q(t)=\frac{\cos t}{t^{2}}.
  • A condição inicial está em t_{0}=\frac{\pi}{2}, que é maior que zero.
  • Note que tanto p(t) quanto q(t) têm singularidade em t=0.

Passo 2

Classificação da equação e observações sobre domínio e existência/ unicidade.
  • Tipo da equação: é uma equação diferencial de primeira ordem, linear e não-homogênea. Em forma padrão, escreve-se
\frac{dy}{dt}+p(t)y=q(t),
onde aqui p(t)=\dfrac{2}{t} e q(t)=\dfrac{\cos t}{t^{2}}.
  • Sobre continuidade e domínio: as funções p(t)=\dfrac{2}{t} e q(t)=\dfrac{\cos t}{t^{2}} são contínuas em qualquer intervalo que não contenha t=0. Em particular, o ponto inicial t_{0}=\dfrac{\pi}{2} pertence ao intervalo (0,\infty), onde ambas as funções são contínuas.
  • Teorema de existência e unicidade (enunciado de forma prática): se p e q são contínuas num intervalo aberto I contendo t_{0}, então existe uma única solução y(t) definida em I que satisfaz o PVI. Portanto, neste problema existe uma única solução definida em todo intervalo aberto que contenha \dfrac{\pi}{2} e não contenha 0; por exemplo, existe e é única em (0,\infty).

Passo 3

Escolha do método e motivo (integrating factor / fator integrante) — explicação didática.
  • Para equações lineares de primeira ordem a técnica padrão e mais simples é o método do fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) de modo que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(t)y(t). Isso facilita integrar diretamente.
  • Como achar \mu(t): escolhe-se
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Explicando: se multiplicarmos a equação original por \mu(t), o lado esquerdo fica
\mu(t)\frac{dy}{dt}+\mu(t)p(t)y = \frac{d}{dt}\big(\mu(t)y\big)
desde que \mu'=\mu p, e essa condição é exatamente satisfeita com a definição acima.
  • Aplicando ao nosso caso: p(t)=\dfrac{2}{t}. Então
\int p(t)\,dt=\int \frac{2}{t}\,dt=2\ln|t|=\ln\!\big(t^{2}\big).
Logo
\mu(t)=\exp\!\big(\ln(t^{2})\big)=t^{2}.
Observação: usamos aqui \ln|t| no cálculo do integral, mas como o ponto inicial \dfrac{\pi}{2} é positivo, podemos tomar t>0 e escrever \mu(t)=t^{2} sem ambiguidade, trabalhando no intervalo (0,\infty).

Passo 4

Multiplicar a equação por \mu(t)=t^{2} e transformar em derivada exata.
  • Multiplicando ambos os lados por t^{2}:
t^{2}\frac{dy}{dt}+t^{2}\cdot\frac{2}{t}y = t^{2}\cdot\frac{\cos t}{t^{2}}.
  • Simplificando o termo do meio:
t^{2}\frac{dy}{dt}+2t y = \cos t.
  • Reconhece-se que o lado esquerdo é a derivada do produto t^{2}y, pois
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y\big)=t^{2}\frac{dy}{dt}+2t y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y\big)=\cos t.

Passo 5

Integrar e obter a solução geral.
  • Integra-se ambos os lados em t:
\int \frac{d}{dt}\big(t^{2}y\big)\,dt = \int \cos t \,dt.
  • A integral do lado esquerdo é t^{2}y. A integral do lado direito é \sin t mais constante de integração C. Logo
t^{2}y = \sin t + C.
  • Assim a solução geral é
y(t)=\frac{\sin t + C}{t^{2}},\qquad (t\neq 0).

Passo 6

Aplicar a condição inicial para determinar a constante C.
  • A condição inicial é y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0. Substituindo na fórmula geral:
0 = y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)+C}{\big(\frac{\pi}{2}\big)^{2}}.
  • Como \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1, obtemos
0=\frac{1+C}{\big(\frac{\pi}{2}\big)^{2}} \quad\Longrightarrow\quad 1+C=0 \quad\Longrightarrow\quad C=-1.
  • Portanto a solução particular que satisfaz o PVI é
y(t)=\frac{\sin t -1}{t^{2}},\qquad t>0.

Passo 7

Verificação direta (substituir na equação) e comentários finais sobre domínio e unicidade.
  • Vamos verificar que a função encontrada satisfaz a equação. Começando de
y(t)=\frac{\sin t -1}{t^{2}},
calcula-se a derivada usando a regra do quociente (ou produto):
y'(t)=\frac{t^{2}\cos t -2t(\sin t -1)}{t^{4}}=\frac{t\cos t -2(\sin t -1)}{t^{3}}.
  • Agora computa-se y'+\dfrac{2}{t}y:
y'(t)+\frac{2}{t}y(t)=\frac{t\cos t -2(\sin t -1)}{t^{3}}+\frac{2}{t}\cdot\frac{\sin t -1}{t^{2}}=\frac{t\cos t}{t^{3}}=\frac{\cos t}{t^{2}},
o que confirma que a solução satisfaz a equação diferencial.
  • A condição inicial foi satisfeita (já verificado no cálculo de C).
  • Sobre domínio: a solução é válida para t em qualquer intervalo que não contenha 0. Como a condição inicial está em t=\dfrac{\pi}{2}, a solução única do PVI está definida em (0,\infty). Não é possível estender a solução de forma contínua através de t=0 com as fórmulas anteriores porque os coeficientes da equação têm singularidade em t=0.
  • Conclusão prática: existe uma única solução do PVI no intervalo (0,\infty), e ela é dada explicitamente acima.

Resposta

Tipo: equação diferencial de primeira ordem, linear e não-homogênea.
Existência e unicidade: existe e é única em qualquer intervalo que não contenha 0; em particular existe e é única em (0,\infty), que contém t_{0}=\dfrac{\pi}{2}.
Solução explícita (válida para t>0):
y(t)=\frac{\sin t -1}{t^{2}}.
Verificação da condição inicial:
y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-1}{\big(\frac{\pi}{2}\big)^{2}}=\frac{1-1}{\big(\frac{\pi}{2}\big)^{2}}=0.

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