Resolva o PVI:
. Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita
(ou
) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
As perguntas pedidas são:
- Verificar a existência e unicidade de solução (ou seja, dizer em que intervalo a solução existe e é única).
- Identificar a priori o(s) tipo(s) da equação.
- Determinar explicitamente a solução
quando possível. - Verificar que a condição inicial é satisfeita.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação diferencial envolve as funções de coeficiente
e termo não-homogêneo . - A condição inicial está em
, que é maior que zero. - Note que tanto
quanto têm singularidade em .
Passo 2
Classificação da equação e observações sobre domínio e existência/ unicidade.
- Tipo da equação: é uma equação diferencial de primeira ordem, linear e não-homogênea. Em forma padrão, escreve-se
onde aqui
e
.
-
Sobre continuidade e domínio: as funções
e são contínuas em qualquer intervalo que não contenha . Em particular, o ponto inicial pertence ao intervalo , onde ambas as funções são contínuas. -
Teorema de existência e unicidade (enunciado de forma prática): se
e são contínuas num intervalo aberto contendo , então existe uma única solução definida em que satisfaz o PVI. Portanto, neste problema existe uma única solução definida em todo intervalo aberto que contenha e não contenha ; por exemplo, existe e é única em .
Passo 3
Escolha do método e motivo (integrating factor / fator integrante) — explicação didática.
-
Para equações lineares de primeira ordem a técnica padrão e mais simples é o método do fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
de modo que o lado esquerdo se torne a derivada do produto . Isso facilita integrar diretamente. -
Como achar
: escolhe-se
Explicando: se multiplicarmos a equação original por
, o lado esquerdo fica
desde que
, e essa condição é exatamente satisfeita com a definição acima.
- Aplicando ao nosso caso:
. Então
Logo
Observação: usamos aqui
no cálculo do integral, mas como o ponto inicial
é positivo, podemos tomar
e escrever
sem ambiguidade, trabalhando no intervalo
.
Passo 4
Multiplicar a equação por
e transformar em derivada exata.
- Multiplicando ambos os lados por
:
- Simplificando o termo do meio:
- Reconhece-se que o lado esquerdo é a derivada do produto
, pois
Portanto a equação fica
Passo 5
Integrar e obter a solução geral.
- Integra-se ambos os lados em
:
- A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é mais constante de integração . Logo
- Assim a solução geral é
Passo 6
Aplicar a condição inicial para determinar a constante
.
- A condição inicial é
. Substituindo na fórmula geral:
- Como
, obtemos
- Portanto a solução particular que satisfaz o PVI é
Passo 7
Verificação direta (substituir na equação) e comentários finais sobre domínio e unicidade.
- Vamos verificar que a função encontrada satisfaz a equação. Começando de
calcula-se a derivada usando a regra do quociente (ou produto):
- Agora computa-se
:
o que confirma que a solução satisfaz a equação diferencial.
-
A condição inicial foi satisfeita (já verificado no cálculo de
). -
Sobre domínio: a solução é válida para
em qualquer intervalo que não contenha . Como a condição inicial está em , a solução única do PVI está definida em . Não é possível estender a solução de forma contínua através de com as fórmulas anteriores porque os coeficientes da equação têm singularidade em . -
Conclusão prática: existe uma única solução do PVI no intervalo
, e ela é dada explicitamente acima.
Resposta
Tipo: equação diferencial de primeira ordem, linear e não-homogênea.
Existência e unicidade: existe e é única em qualquer intervalo que não contenha
; em particular existe e é única em
, que contém
.
Solução explícita (válida para
):
Verificação da condição inicial: