Resolva o PVI: \frac{d y}{d t}=k y\left(1-\frac{y}{M}\right), \quad y(0)=y_{0}, onde k>0, M>0 e 0<y_{0}<M são constantes. (Equação logística.) Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita y=y(x) (ou y=y(t) ) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\frac{dy}{dt}=k\,y\!\left(1-\frac{y}{M}\right),\qquad y(0)=y_{0},
com constantes k>0, M>0 e 0<y_{0}<M.
O que o exercício pede:
  • verificar existência e unicidade da solução do PVI;
  • identificar a priori o(s) tipo(s) da equação;
  • encontrar a solução explícita y=y(t) quando possível e verificar que ela satisfaz y(0)=y_{0}.
Vou seguir passo a passo, explicando a teoria usada (Picard-Lindelöf, separação de variáveis, frações parciais) de forma didática.

Passo 2

Classificação da equação (explicação didática):
  • É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem porque envolve \dfrac{dy}{dt} e y.
  • É autônoma porque o lado direito depende apenas de y (não aparece t explicitamente).
  • É separável porque pode ser escrita como uma função de y multiplicada por uma função de t, permitindo separar as variáveis y e t.
  • É a equação logística (modelo clássico de crescimento limitado); também pode ser vista como um caso do tipo Bernoulli (mas aqui resolvemos por separação).
    Explicação curta sobre separação: se uma equação pode ser escrita como \dfrac{dy}{dt}=g(t)\,h(y), podemos rearranjar para \dfrac{dy}{h(y)}=g(t)\,dt e integrar ambos os lados.

Passo 3

Existência e unicidade (com explicações passo a passo):
  • Defina a função do lado direito
f(y)=k\,y\!\left(1-\frac{y}{M}\right)=\frac{k}{M}\,y(M-y).
  • Observe que f é uma função diferenciável (na verdade C^\infty) em todo \mathbb{R}. O fato de f ser C^1 implica, pelo teorema de Picard–Lindelöf (teorema de existência e unicidade local), que existe uma solução única C^1 do PVI em um intervalo de tempo ao redor de t=0.
  • Para obter existência global e garantir que a solução não blow-up em tempo finito, use o argumento de invariância de intervalos e unicidade:
    • y=0 e y=M são soluções constantes (equilíbrios) porque f(0)=0 e f(M)=0.
    • Como 0<y_{0}<M, para valores de y com 0<y<M temos f(y)>0. Assim a solução que parte de y_0 é crescente e não pode atravessar a solução constante y=M.
    • Se em algum tempo T tivéssemos y(T)=M, então a solução constante y(t)\equiv M satisfaz o mesmo valor inicial em t=T; pela unicidade, as duas soluções coincidiríam para t\ge T, o que impediria ultrapassar M. Portanto a solução permanece em (0,M) para todo t no seu intervalo de existência.
    • Como f é C^1 em [0,M], é Lipschitz em [0,M] e, combinado com o fato de a solução permanecer nesse intervalo, garante-se existência e unicidade global (para todo t\in\mathbb{R}).
      Resumo: existe uma única solução C^1 definida globalmente que permanece em (0,M).

Passo 4

Resolver por separação de variáveis — preparação:
Escreve-se a EDO de modo conveniente:
\frac{dy}{dt}=\frac{k}{M}\,y(M-y).
Separe variáveis:
\frac{dy}{y(M-y)}=\frac{k}{M}\,dt.
Agora precisamos integrar o lado esquerdo em y. Para isso, use frações parciais.

Passo 5

Frações parciais e integração (detalhando cada passo):
Queremos decompor
\frac{1}{y(M-y)}.
Procure constantes A,B tais que
\frac{1}{y(M-y)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{M-y}.
Multiplicando por y(M-y) obtemos
1=A(M-y)+By = AM + (B-A) y.
Comparando coeficientes: AM=1 e B-A=0. Assim A=B=\dfrac{1}{M}.
Logo
\frac{1}{y(M-y)}=\frac{1}{M}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{M-y}\right).
Integramos ambos os lados da igualdade obtida em separação:
\int\frac{dy}{y(M-y)}=\int\frac{1}{M}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{M-y}\right)\,dy =\frac{1}{M}\bigl(\ln|y| - \ln|M-y|\bigr)+C,
onde usamos \displaystyle\int\frac{1}{M-y}\,dy=-\ln|M-y|.
Do outro lado,
\int\frac{k}{M}\,dt=\frac{k}{M}\,t + C_1.
Igualando (absorvendo constantes) e multiplicando por M para simplificar:
\ln\!\frac{y}{M-y}=k t + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Isolar y e aplicar a condição inicial (álgebra passo a passo):
Exponenciando:
\frac{y}{M-y}=C e^{k t}.
Resolva para y:
y = (M-y)\,C e^{k t} \quad\Rightarrow\quad y\bigl(1+C e^{k t}\bigr)=M C e^{k t},
y(t)=\frac{M C e^{k t}}{1+C e^{k t}}.
Determine C usando y(0)=y_{0}:
y_{0}=\frac{M C}{1+C}\quad\Rightarrow\quad y_{0}(1+C)=M C\quad\Rightarrow\quad C=\frac{y_{0}}{M-y_{0}}.
Substituindo esse C em y(t) e simplificando dá a forma usual:
y(t)=\frac{M}{1+\displaystyle\frac{M-y_{0}}{y_{0}}\,e^{-k t}}.
Outra forma algebraicamente equivalente (útil em alguns contextos) é
y(t)=\frac{M\,y_{0}\,e^{k t}}{M-y_{0}+y_{0}e^{k t}}.

Passo 7

Verificação da condição inicial e propriedades qualitativas:
  • Verificação direta em t=0:
y(0)=\frac{M}{1+\dfrac{M-y_{0}}{y_{0}}\,e^{0}}=\frac{M}{1+\dfrac{M-y_{0}}{y_{0}}}=\frac{M}{\dfrac{M}{y_{0}}} = y_{0},
logo a condição inicial é satisfeita.
  • Propriedades qualitativas (rápidas e úteis para prova):
    • Para 0<y_{0}<M temos y(t) crescente em t (pois \dfrac{dy}{dt}>0 enquanto 0<y<M).
    • Limites temporais: \displaystyle\lim_{t\to\infty} y(t)=M (saturação na capacidade M) e \displaystyle\lim_{t\to -\infty} y(t)=0.
    • Os equilíbrios y=0 e y=M aparecem naturalmente; o caso dado com 0<y_{0}<M tende para M conforme t\to\infty.

Resposta

Tipo(s): equação de primeira ordem, autônoma, separável (equação logística; caso especial de Bernoulli).
Existência e unicidade: existe uma única solução C^{1} global para todo t, que permanece em (0,M) (Picard–Lindelöf + argumento de invariância de intervalos).
Solução explícita satisfazendo y(0)=y_{0}:
y(t)=\frac{M}{1+\dfrac{M-y_{0}}{y_{0}}\,e^{-k t}} \quad\text{(equivalentemente }\; y(t)=\frac{M\,y_{0}\,e^{k t}}{M-y_{0}+y_{0}e^{k t}}\text{).}

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