Resolva o PVI:
, onde
e
são constantes. (Equação logística.) Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita
(ou
) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
com constantes
,
e
.
O que o exercício pede:
- verificar existência e unicidade da solução do PVI;
- identificar a priori o(s) tipo(s) da equação;
- encontrar a solução explícita
quando possível e verificar que ela satisfaz .
Vou seguir passo a passo, explicando a teoria usada (Picard-Lindelöf, separação de variáveis, frações parciais) de forma didática.
Passo 2
Classificação da equação (explicação didática):
- É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem porque envolve
e . - É autônoma porque o lado direito depende apenas de
(não aparece explicitamente). - É separável porque pode ser escrita como uma função de
multiplicada por uma função de , permitindo separar as variáveis e . - É a equação logística (modelo clássico de crescimento limitado); também pode ser vista como um caso do tipo Bernoulli (mas aqui resolvemos por separação).
Explicação curta sobre separação: se uma equação pode ser escrita como, podemos rearranjar para e integrar ambos os lados.
Passo 3
Existência e unicidade (com explicações passo a passo):
- Defina a função do lado direito
- Observe que
é uma função diferenciável (na verdade ) em todo . O fato de ser implica, pelo teorema de Picard–Lindelöf (teorema de existência e unicidade local), que existe uma solução única do PVI em um intervalo de tempo ao redor de . - Para obter existência global e garantir que a solução não blow-up em tempo finito, use o argumento de invariância de intervalos e unicidade:
-
e são soluções constantes (equilíbrios) porque e . - Como
, para valores de com temos . Assim a solução que parte de é crescente e não pode atravessar a solução constante . - Se em algum tempo
tivéssemos , então a solução constante satisfaz o mesmo valor inicial em ; pela unicidade, as duas soluções coincidiríam para , o que impediria ultrapassar . Portanto a solução permanece em para todo no seu intervalo de existência. - Como
é em , é Lipschitz em e, combinado com o fato de a solução permanecer nesse intervalo, garante-se existência e unicidade global (para todo ).
Resumo: existe uma única soluçãodefinida globalmente que permanece em .
-
Passo 4
Resolver por separação de variáveis — preparação:
Escreve-se a EDO de modo conveniente:
Escreve-se a EDO de modo conveniente:
Separe variáveis:
Agora precisamos integrar o lado esquerdo em
. Para isso, use frações parciais.
Passo 5
Frações parciais e integração (detalhando cada passo):
Queremos decompor
Queremos decompor
Procure constantes
tais que
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes:
e
. Assim
.
Logo
Integramos ambos os lados da igualdade obtida em separação:
onde usamos
.
Do outro lado,
Do outro lado,
Igualando (absorvendo constantes) e multiplicando por
para simplificar:
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Isolar
e aplicar a condição inicial (álgebra passo a passo):
Exponenciando:
Exponenciando:
Resolva para
:
Determine
usando
:
Substituindo esse
em
e simplificando dá a forma usual:
Outra forma algebraicamente equivalente (útil em alguns contextos) é
Passo 7
Verificação da condição inicial e propriedades qualitativas:
- Verificação direta em
:
logo a condição inicial é satisfeita.
- Propriedades qualitativas (rápidas e úteis para prova):
- Para
temos crescente em (pois enquanto ). - Limites temporais:
(saturação na capacidade ) e . - Os equilíbrios
e aparecem naturalmente; o caso dado com tende para conforme .
- Para
Resposta
Tipo(s): equação de primeira ordem, autônoma, separável (equação logística; caso especial de Bernoulli).
Existência e unicidade: existe uma única solução global para todo
, que permanece em
(Picard–Lindelöf + argumento de invariância de intervalos).
Solução explícita satisfazendo :
Existência e unicidade: existe uma única solução
Solução explícita satisfazendo