Resolva o PVI:
. Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita
(ou
) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI)
O que se pede:
- identificar a priori o(s) tipo(s) da equação;
- verificar existência e unicidade de solução;
- resolver explicitamente, ou seja encontrar
; - verificar que a condição inicial é satisfeita.
Informações explícitas dadas:
- equação diferencial de primeira ordem em
; - coeficientes envolvem a função
e ; - valor inicial em
com .
Passo 2
Identificação do tipo da equação (explicando de forma simples e didática).
- Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
são funções de
. Para chegar a essa forma, divido a equação dada por
(que é sempre positiva para todo
):
- Logo a equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem com
- Observação: também é possível ver diretamente que a esquerda da equação original é a derivada do produto
, pois
Portanto a equação é linear e, por coincidência, já está escrita de modo que a esquerda é uma derivada exata do produto
.
Passo 3
Verificação de existência e unicidade (explicando o teorema de forma simples).
- Teorema (versão para ODE linear primeira ordem / Picard-Lindelöf): se
e são contínuas numa vizinhança de , então existe uma única solução da equação linear que satisfaz a condição inicial . - Aqui
e são funções contínuas para todo (denominador nunca zero). Portanto existe e é única uma solução definida em todo que satisfaz .
Passo 4
Método de solução — fator integrante (explicação didática do método).
- Para resolver
usa-se um fator integrante tal que , ou seja
- Multiplicando a equação por
transforma-se o lado esquerdo numa derivada exata: . - Vamos calcular
para o nosso .
Passo 5
Cálculo do fator integrante
.
- Calcular a integral
- Fazendo a mudança óbvia
, tem-se , logo
- Portanto
observando que
para todo
, então não há ambiguidade de sinal. (Constante multiplicativa irrelevante pode ser ignorada.)
Passo 6
Multiplicar pela fator integrante e integrar (passo a passo).
- Multiplicando a forma padrão
por obtém-se
- Como já notado na identificação do tipo, a esquerda é exatamente
. Então a equação fica
- Integro ambos os lados em relação a
:
- A integral é clássica:
- Portanto
Passo 7
Isolando
e aplicando a condição inicial (detalhando como achar
).
- Dividindo por
obtemos a solução geral:
- Impor a condição inicial
:
- Como
segue . - Logo a solução particular que satisfaz o PVI é
Passo 8
Verificação final e observações (apoiando confiança).
- Verificação rápida: multiplicando ambos os lados por
obtemos . Diferenciando dá exatamente , portanto a solução satisfaz a equação diferencial. - A condição inicial foi satisfeita porque
. - Domain: as funções envolvidas são contínuas para todo
, logo a solução está definida e é única em toda .
Resposta
Tipo: equação linear de primeira ordem (a esquerda é também
).
Existência e unicidade: existe e é única solução definida em todo (coeficientes contínuos em
).
Solução explícita:
Existência e unicidade: existe e é única solução definida em todo
Solução explícita:
Condição inicial:
(verificada).