Resolva o PVI: \left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+2 x y=\frac{1}{1+x^{2}}, \quad y(0)=0. Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita y=y(x) (ou y=y(t) ) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial (PVI)
(1+x^{2})\,y'+2x\,y=\frac{1}{1+x^{2}},\qquad y(0)=0.
O que se pede:
  • identificar a priori o(s) tipo(s) da equação;
  • verificar existência e unicidade de solução;
  • resolver explicitamente, ou seja encontrar y=y(x);
  • verificar que a condição inicial é satisfeita.
Informações explícitas dadas:
  • equação diferencial de primeira ordem em y=y(x);
  • coeficientes envolvem a função x\mapsto 1+x^{2} e x\mapsto 2x;
  • valor inicial em x_{0}=0 com y(0)=0.

Passo 2

Identificação do tipo da equação (explicando de forma simples e didática).
  • Uma equação linear de primeira ordem tem a forma
y'+p(x)\,y=q(x),
onde p e q são funções de x. Para chegar a essa forma, divido a equação dada por (1+x^{2}) (que é sempre positiva para todo x):
y'+\frac{2x}{1+x^{2}}\,y=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}.
  • Logo a equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem com
p(x)=\frac{2x}{1+x^{2}},\qquad q(x)=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}.
  • Observação: também é possível ver diretamente que a esquerda da equação original é a derivada do produto (1+x^{2})y, pois
\frac{d}{dx}\big[(1+x^{2})y\big]=(1+x^{2})y'+2x y.
Portanto a equação é linear e, por coincidência, já está escrita de modo que a esquerda é uma derivada exata do produto (1+x^{2})y.

Passo 3

Verificação de existência e unicidade (explicando o teorema de forma simples).
  • Teorema (versão para ODE linear primeira ordem / Picard-Lindelöf): se p e q são contínuas numa vizinhança de x_{0}, então existe uma única solução da equação linear y'+p(x)y=q(x) que satisfaz a condição inicial y(x_{0})=y_{0}.
  • Aqui p(x)=\dfrac{2x}{1+x^{2}} e q(x)=\dfrac{1}{(1+x^{2})^{2}} são funções contínuas para todo x\in\mathbb{R} (denominador nunca zero). Portanto existe e é única uma solução definida em todo \mathbb{R} que satisfaz y(0)=0.

Passo 4

Método de solução — fator integrante (explicação didática do método).
  • Para resolver y'+p(x)y=q(x) usa-se um fator integrante \mu(x) tal que \mu'(x)=p(x)\mu(x), ou seja
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
  • Multiplicando a equação por \mu transforma-se o lado esquerdo numa derivada exata: \dfrac{d}{dx}[\mu(x)y]=\mu(x)q(x).
  • Vamos calcular \mu para o nosso p(x)=\dfrac{2x}{1+x^{2}}.

Passo 5

Cálculo do fator integrante \mu(x).
  • Calcular a integral
\int p(x)\,dx=\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
  • Fazendo a mudança óbvia u=1+x^{2}, tem-se du=2x\,dx, logo
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx=\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|=\ln(1+x^{2}).
  • Portanto
\mu(x)=\exp\!\big(\ln(1+x^{2})\big)=1+x^{2},
observando que 1+x^{2}>0 para todo x, então não há ambiguidade de sinal. (Constante multiplicativa irrelevante pode ser ignorada.)

Passo 6

Multiplicar pela fator integrante e integrar (passo a passo).
  • Multiplicando a forma padrão y'+\dfrac{2x}{1+x^{2}}y=\dfrac{1}{(1+x^{2})^{2}} por \mu(x)=1+x^{2} obtém-se
(1+x^{2})y'+2x y=\frac{1}{1+x^{2}}.
  • Como já notado na identificação do tipo, a esquerda é exatamente \dfrac{d}{dx}\big[(1+x^{2})y\big]. Então a equação fica
\frac{d}{dx}\big[(1+x^{2})y\big]=\frac{1}{1+x^{2}}.
  • Integro ambos os lados em relação a x:
(1+x^{2})y=\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx + C.
  • A integral é clássica:
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\arctan x.
  • Portanto
(1+x^{2})y=\arctan x + C.

Passo 7

Isolando y e aplicando a condição inicial (detalhando como achar C).
  • Dividindo por 1+x^{2} obtemos a solução geral:
y(x)=\frac{\arctan x + C}{1+x^{2}}.
  • Impor a condição inicial y(0)=0:
y(0)=\frac{\arctan 0 + C}{1+0^{2}}=\frac{0+C}{1}=C.
  • Como y(0)=0 segue C=0.
  • Logo a solução particular que satisfaz o PVI é
y(x)=\frac{\arctan x}{1+x^{2}}.

Passo 8

Verificação final e observações (apoiando confiança).
  • Verificação rápida: multiplicando ambos os lados por 1+x^{2} obtemos (1+x^{2})y=\arctan x. Diferenciando dá exatamente (1+x^{2})y'+2x y=\dfrac{1}{1+x^{2}}, portanto a solução satisfaz a equação diferencial.
  • A condição inicial foi satisfeita porque y(0)=\dfrac{\arctan 0}{1+0^{2}}=0.
  • Domain: as funções envolvidas são contínuas para todo x\in\mathbb{R}, logo a solução está definida e é única em toda \mathbb{R}.

Resposta

Tipo: equação linear de primeira ordem (a esquerda é também \dfrac{d}{dx}[(1+x^{2})y]).
Existência e unicidade: existe e é única solução definida em todo \mathbb{R} (coeficientes contínuos em \mathbb{R}).
Solução explícita:
y(x)=\frac{\arctan x}{1+x^{2}}.
Condição inicial: y(0)=0 (verificada).

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