Resolva o PVI:
. Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita
(ou
) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.
Passo 1
O que o enunciado fornece e pede:
- Dado o problema de valor inicial (PVI)
com condição inicial . - Pedidos:
- Verificar existência e unicidade de solução para o PVI.
- Identificar a priori o(s) tipo(s) da equação.
- Encontrar a solução explícita
quando possível. - Verificar que a condição inicial é satisfeita.
Passo 2
Identificação do tipo da equação (sem resolver ainda):
- É uma equação diferencial de primeira ordem (pois aparece
). - Não é linear em
(porque aparece ), portanto é uma equação não linear. - É separável: a equação pode ser escrita de modo a separar os fatores em função de
e de em lados opostos. - Também pode ser vista como um caso particular da equação de Bernoulli (forma geral
), mas o método mais direto aqui é separação de variáveis. - Não é autônoma (pois a função do lado direito depende explicitamente de
).
Passo 3
Condições de existência e unicidade (ideia e verificação para este caso):
- Teorema de Picard–Lindelöf (existência e unicidade local): se
é contínua em um retângulo que contém e é Lipschitz em (ou tem contínua) nesse retângulo, então existe uma única solução local passando por . - Aqui
. Verificações: -
é contínua em todo . - Calcular a derivada parcial em relação a
: , que é contínua em todo .
-
- Conclusão: para o ponto inicial
existe e é única uma solução local (e de fato, por continuidade das derivadas, a existência/uniquidade vale em qualquer retângulo que não contenha singularidade da solução). Em retângulos fechados onde e pode-se tomar uma constante de Lipschitz . Portanto o critério é satisfeito.
Passo 4
Resolvendo a equação por separação de variáveis (passo a passo):
- Começar da equação dada:
- Separar as variáveis (colocar termos em
de um lado e termos em do outro): Explicação curta: multiplica ambos os lados e passa para o lado direito; assim cada lado depende apenas de uma variável. - Integrar ambos os lados (introduzindo constante de integração):
- Calcular as integrais:
Junta-se as constantes em uma só . Assim: onde é constante real arbitrária. - Isolar
: Para simplificar a forma, podemos manipular a fração: se quando , etc. Vamos aplicar a condição inicial para determinar .
Passo 5
Determinação da constante pela condição inicial e forma simplificada da solução:
- Aplicar
na expressão : Logo - Substituindo
na fórmula geral: Então Portanto a solução explícita encontrada é
Passo 6
Verificação rápida (que a solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial):
- Verificação da condição inicial:
portanto a condição inicial é satisfeita. - Verificação da equação diferencial (checar derivada):
- Calcular
para : - Calcular
: - Como
, a solução satisfaz a equação diferencial também.
- Calcular
Passo 7
Domínio maximal da solução e comentário sobre extensão:
- A solução explícita
tem singularidades quando o denominador se anula, isto é, em , ou seja . - Como o ponto inicial é
, o maior intervalo aberto que contém onde a solução é definida é . Nessa faixa a solução é única e contínua; não é possível estendê-la de forma contínua além de porque a solução diverge aí (explosão finita). - Observação: existe também a solução trivial
da equação diferencial, mas ela não satisfaz a condição inicial .
Resposta
Tipo: primeira ordem, não linear, separável (caso particular de Bernoulli), não autônoma.
Existência e unicidade: é contínua e
é contínua, logo há existência e unicidade local (e única solução maximal passando por
).
Solução explícita: , válida para
.
Verificação da condição inicial: .
Existência e unicidade:
Solução explícita:
Verificação da condição inicial: