Resolva o PVI: \frac{d y}{d x}=x y^{2}, \quad y(1)=2. Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita y=y(x) (ou y=y(t) ) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.

Passo 1

O que o enunciado fornece e pede:
  • Dado o problema de valor inicial (PVI) \dfrac{dy}{dx}=x y^{2} com condição inicial y(1)=2.
  • Pedidos:
    • Verificar existência e unicidade de solução para o PVI.
    • Identificar a priori o(s) tipo(s) da equação.
    • Encontrar a solução explícita y=y(x) quando possível.
    • Verificar que a condição inicial é satisfeita.

Passo 2

Identificação do tipo da equação (sem resolver ainda):
  • É uma equação diferencial de primeira ordem (pois aparece \dfrac{dy}{dx}).
  • Não é linear em y (porque aparece y^{2}), portanto é uma equação não linear.
  • É separável: a equação pode ser escrita de modo a separar os fatores em função de x e de y em lados opostos.
  • Também pode ser vista como um caso particular da equação de Bernoulli (forma geral \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}), mas o método mais direto aqui é separação de variáveis.
  • Não é autônoma (pois a função do lado direito depende explicitamente de x).

Passo 3

Condições de existência e unicidade (ideia e verificação para este caso):
  • Teorema de Picard–Lindelöf (existência e unicidade local): se f(x,y) é contínua em um retângulo que contém (x_{0},y_{0}) e é Lipschitz em y (ou tem \partial f/\partial y contínua) nesse retângulo, então existe uma única solução local passando por (x_{0},y_{0}).
  • Aqui f(x,y)=x y^{2}. Verificações:
    • f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
    • Calcular a derivada parcial em relação a y: \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x y, que é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
  • Conclusão: para o ponto inicial (1,2) existe e é única uma solução local (e de fato, por continuidade das derivadas, a existência/uniquidade vale em qualquer retângulo que não contenha singularidade da solução). Em retângulos fechados onde |x|\le a e |y|\le M pode-se tomar uma constante de Lipschitz L=2aM. Portanto o critério é satisfeito.

Passo 4

Resolvendo a equação por separação de variáveis (passo a passo):
  • Começar da equação dada: \frac{dy}{dx}=x y^{2}.
  • Separar as variáveis (colocar termos em y de um lado e termos em x do outro): \frac{dy}{y^{2}}=x\,dx.Explicação curta: \dfrac{1}{y^{2}} multiplica ambos os lados e dx passa para o lado direito; assim cada lado depende apenas de uma variável.
  • Integrar ambos os lados (introduzindo constante de integração): \int \frac{dy}{y^{2}}=\int x\,dx.
  • Calcular as integrais: \int y^{-2}\,dy = -\frac{1}{y} + C_{1},\qquad \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C_{2}.Junta-se as constantes em uma só C. Assim: -\frac{1}{y}=\frac{x^{2}}{2}+C,onde C é constante real arbitrária.
  • Isolar y: y=-\frac{1}{\dfrac{x^{2}}{2}+C}.Para simplificar a forma, podemos manipular a fração: se \dfrac{x^{2}}{2}+C=\dfrac{x^{2}-2}{2} quando C=-1, etc. Vamos aplicar a condição inicial para determinar C.

Passo 5

Determinação da constante pela condição inicial e forma simplificada da solução:
  • Aplicar y(1)=2 na expressão -\dfrac{1}{y}=\dfrac{x^{2}}{2}+C: -\frac{1}{2}=\frac{1^{2}}{2}+C=\frac{1}{2}+C.Logo C=-1.
  • Substituindo C=-1 na fórmula geral: -\frac{1}{y}=\frac{x^{2}}{2}-1=\frac{x^{2}-2}{2}.Então y=-\frac{1}{\dfrac{x^{2}-2}{2}}=-\frac{2}{x^{2}-2}=\frac{2}{2-x^{2}}.Portanto a solução explícita encontrada é y(x)=\frac{2}{2-x^{2}}.

Passo 6

Verificação rápida (que a solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial):
  • Verificação da condição inicial: y(1)=\frac{2}{2-1}=\frac{2}{1}=2,portanto a condição inicial é satisfeita.
  • Verificação da equação diferencial (checar derivada):
    • Calcular \dfrac{dy}{dx} para y(x)=2(2-x^{2})^{-1}: \frac{dy}{dx}=2\cdot\bigl(-1\bigr)(2-x^{2})^{-2}\cdot(-2x)=\frac{4x}{(2-x^{2})^{2}}.
    • Calcular x y^{2}: x y^{2}=x\left(\frac{2}{2-x^{2}}\right)^{2}=\frac{4x}{(2-x^{2})^{2}}.
    • Como \dfrac{dy}{dx}=x y^{2}, a solução satisfaz a equação diferencial também.

Passo 7

Domínio maximal da solução e comentário sobre extensão:
  • A solução explícita y(x)=\dfrac{2}{2-x^{2}} tem singularidades quando o denominador se anula, isto é, em x^{2}=2, ou seja x=\pm\sqrt{2}.
  • Como o ponto inicial é x_{0}=1, o maior intervalo aberto que contém 1 onde a solução é definida é \bigl(-\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr). Nessa faixa a solução é única e contínua; não é possível estendê-la de forma contínua além de x=\pm\sqrt{2} porque a solução diverge aí (explosão finita).
  • Observação: existe também a solução trivial y\equiv 0 da equação diferencial, mas ela não satisfaz a condição inicial y(1)=2.

Resposta

Tipo: primeira ordem, não linear, separável (caso particular de Bernoulli), não autônoma.
Existência e unicidade: f(x,y)=x y^{2} é contínua e \partial f/\partial y=2xy é contínua, logo há existência e unicidade local (e única solução maximal passando por (1,2)).
Solução explícita: \displaystyle y(x)=\frac{2}{2-x^{2}}, válida para x\in\bigl(-\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr).
Verificação da condição inicial: \displaystyle y(1)=\frac{2}{2-1}=2.

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