Resolva o PVI: x y^{\prime}-y=x^{2} \sin x, \quad y(\pi)=0. Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita y=y(x) (ou y=y(t) ) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
x\,y' - y = x^{2}\sin x,\qquad y(\pi)=0.
O que é pedido:
  • identificar o(s) tipo(s) da equação (a priori);
  • verificar existência e unicidade da solução;
  • encontrar a solução explícita y=y(x) quando possível;
  • verificar que a condição inicial é satisfeita.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • a equação diferencial é de primeira ordem com coeficiente x multiplicando y';
  • a condição inicial está em x=\pi (note que \pi\neq0).

Passo 2

Identificação do tipo da equação (a priori):
A equação pode ser colocada em forma padrão dividindo por x (desde que x\neq0):
y' - \frac{1}{x}y = x\sin x.
Portanto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear não-homogênea, do tipo
y' + p(x)y = q(x),
com p(x)=-\dfrac{1}{x} e q(x)=x\sin x.
Existência e unicidade:
Para equações lineares de primeira ordem, se p(x) e q(x) são contínuas num intervalo aberto I contendo o ponto inicial, então existe uma única solução definida em I. Aqui p(x)=-1/x e q(x)=x\sin x são contínuas em qualquer intervalo que não contenha x=0. Como a condição inicial está em x=\pi>0, podemos tomar por exemplo o intervalo (0,+\infty). Portanto existe e é única a solução no intervalo (0,+\infty) (ou em qualquer outro intervalo que contenha \pi e não contenha 0).

Passo 3

Resolvendo a parte homogênea para entender a estrutura da solução:
Considere a equação homogênea associada
x y' - y = 0,
ou na forma padrão
y' - \frac{1}{x}y = 0.
Isto é separável ou linear simples. Separando:
\frac{y'}{y}=\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dx}\ln|y|=\frac{1}{x}.
Integrando:
\ln|y|=\ln|x|+C\quad\Rightarrow\quad y=Cx,
onde C é constante. Assim a solução geral da homogênea é y_h(x)=C x.

Passo 4

Aplicando o método do fator integrante para a equação completa:
A forma padrão é y' + p(x)y = q(x) com p(x)=-\dfrac{1}{x}. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(-\ln|x|)=\frac{1}{|x|}.
Como estamos trabalhando no intervalo (0,+\infty) onde x>0, temos \mu(x)=\dfrac{1}{x}. Multiplicando a equação padrão por \mu(x) obtemos
\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^{2}}y = \sin x.
Agora reconhecemos a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{x y' - y}{x^{2}} = \frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^{2}}y.
Logo a equação fica simplesmente
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\sin x.

Passo 5

Integração para achar a solução geral:
Integrando ambos os lados em relação a x,
\frac{y}{x}=\int \sin x\,dx = -\cos x + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por x,
y(x) = -x\cos x + C x.
Esta é a solução geral no intervalo (0,+\infty).

Passo 6

Determinação da constante usando a condição inicial:
Aplicando y(\pi)=0,
0 = y(\pi) = -\pi\cos\pi + C\pi.
Sabendo que \cos\pi=-1, substitui-se:
0 = -\pi(-1) + C\pi = \pi + C\pi.
Dividindo por \pi (não nula):
0 = 1 + C \quad\Rightarrow\quad C = -1.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x) = -x\cos x - x = -x\bigl(\cos x + 1\bigr).

Passo 7

Verificação da condição inicial e comentário final:
Verificando diretamente,
y(\pi) = -\pi\bigl(\cos\pi + 1\bigr) = -\pi\bigl(-1 +1\bigr) = -\pi\cdot 0 = 0,
logo a condição inicial é satisfeita. Relembre que a solução é única no intervalo (0,+\infty) (ou em qualquer intervalo que contenha \pi e não contenha 0), conforme a discussão de existência e unicidade.

Resposta

y(x) = -x\bigl(\cos x + 1\bigr),\quad x>0

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