Resolva o PVI:
. Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita
(ou
) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
O que é pedido:
- identificar o(s) tipo(s) da equação (a priori);
- verificar existência e unicidade da solução;
- encontrar a solução explícita
quando possível; - verificar que a condição inicial é satisfeita.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- a equação diferencial é de primeira ordem com coeficiente
multiplicando ; - a condição inicial está em
(note que ).
Passo 2
Identificação do tipo da equação (a priori):
A equação pode ser colocada em forma padrão dividindo por (desde que
):
A equação pode ser colocada em forma padrão dividindo por
Portanto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear não-homogênea, do tipo
com
e
.
Existência e unicidade:
Para equações lineares de primeira ordem, se e
são contínuas num intervalo aberto
contendo o ponto inicial, então existe uma única solução definida em
. Aqui
e
são contínuas em qualquer intervalo que não contenha
. Como a condição inicial está em
, podemos tomar por exemplo o intervalo
. Portanto existe e é única a solução no intervalo
(ou em qualquer outro intervalo que contenha
e não contenha
).
Para equações lineares de primeira ordem, se
Passo 3
Resolvendo a parte homogênea para entender a estrutura da solução:
Considere a equação homogênea associada
Considere a equação homogênea associada
ou na forma padrão
Isto é separável ou linear simples. Separando:
Integrando:
onde
é constante. Assim a solução geral da homogênea é
.
Passo 4
Aplicando o método do fator integrante para a equação completa:
A forma padrão é com
. O fator integrante é
A forma padrão é
Como estamos trabalhando no intervalo
onde
, temos
. Multiplicando a equação padrão por
obtemos
Agora reconhecemos a derivada do produto:
Logo a equação fica simplesmente
Passo 5
Integração para achar a solução geral:
Integrando ambos os lados em relação a ,
Integrando ambos os lados em relação a
onde
é constante de integração. Multiplicando por
,
Esta é a solução geral no intervalo
.
Passo 6
Determinação da constante usando a condição inicial:
Aplicando ,
Aplicando
Sabendo que
, substitui-se:
Dividindo por
(não nula):
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação da condição inicial e comentário final:
Verificando diretamente,
Verificando diretamente,
logo a condição inicial é satisfeita. Relembre que a solução é única no intervalo
(ou em qualquer intervalo que contenha
e não contenha
), conforme a discussão de existência e unicidade.