Resolva o PVI: y^{\prime}+2 y=4 e^{-x}, \quad y(0)=3. Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita y=y(x) (ou y=y(t) ) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y'+2y=4e^{-x},\qquad y(0)=3.
As perguntas que vou responder são:
  • Identificar o(s) tipo(s) da equação.
  • Verificar existência e unicidade da solução.
  • Encontrar a solução explícita y=y(x).
  • Verificar que a solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficientes: o termo que multiplica y é a constante 2.
  • Termo não homogêneo (forçamento): 4e^{-x}.
  • Condição inicial: y(0)=3.

Passo 2

Identificação do tipo da equação (explicando de forma simples):
  • É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem porque envolve y' (derivada primeira) e y.
  • É linear e não homogênea na forma padrão y'+p(x)y=q(x), aqui com p(x)=2 e q(x)=4e^{-x}.
  • Tem coeficiente p(x) constante (igual a 2), portanto é uma equação linear de primeira ordem com coeficiente constante e termo forçante exponencial.
    Observação rápida: por ser linear de primeira ordem, há um método padrão muito eficiente — o fator integrante — que vou usar.

Passo 3

Verificação de existência e unicidade (com explicação didática):
Reescrevo a equação na forma equivalente de valor inicial padrão
y'= -2y + 4e^{-x}.
Defina f(x,y) = -2y + 4e^{-x}. As condições do teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf dizem que, se f(x,y) for contínua em x e Lipschitz em y numa vizinhança do ponto inicial, então existe uma única solução passando por esse ponto, pelo menos localmente; se as condições valem globalmente, a solução é global.
  • f(x,y) é contínua em todo (x,y)\in\mathbb{R}^2 porque é combinação de funções contínuas.
  • Quanto à propriedade Lipschitz em y: \partial f/\partial y = -2 é contínua, logo f é globalmente Lipschitz em y com constante L=2.
Conclusão: existe uma única solução definida globalmente em \mathbb{R} que satisfaz y(0)=3.

Passo 4

Apresentação do método do fator integrante (aula rápida):
Para uma equação linear de primeira ordem na forma
y'+p(x)y=q(x),
o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\mu(x)y' + \mu(x)p(x)y = (\mu(x)y)'.
Assim a equação fica (\mu y)'=\mu q, que podemos integrar para encontrar \mu y e então y. Aqui cada símbolo significa:
  • p(x) é a função que multiplica y;
  • q(x) é o termo não homogêneo;
  • \mu(x) é uma função escolhida para transformar o lado esquerdo numa derivada exata (\mu y)'.

Passo 5

Aplicando o fator integrante ao nosso caso:
Temos p(x)=2. Logo
\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}.
Multiplico a equação original por \mu(x)=e^{2x}:
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = 4e^{2x}e^{-x}.
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada de e^{2x}y. Portanto
\bigl(e^{2x}y\bigr)' = 4e^{x}.

Passo 6

Integro ambos os lados para encontrar e^{2x}y:
\int \bigl(e^{2x}y\bigr)'\,dx = \int 4e^{x}\,dx
e^{2x}y = 4e^{x} + C,
onde C é constante de integração. Agora isolo y:
y(x) = e^{-2x}\bigl(4e^{x}+C\bigr) = 4e^{-x} + C e^{-2x}.
Essa é a solução geral da equação diferencial linear dada.

Passo 7

Aplicação da condição inicial para determinar a constante C:
A condição é y(0)=3. Substituo x=0 na solução geral:
y(0) = 4e^{0} + C e^{0} = 4 + C.
Impondo y(0)=3 obtemos
4 + C = 3 \quad\Rightarrow\quad C = -1.
Portanto a solução particular que satisfaz o PVI é
y(x)=4e^{-x} - e^{-2x}.

Passo 8

Verificação direta (mostrar que a solução satisfaz a EDO e a condição inicial):
Calculo y'(x) da solução encontrada:
y(x)=4e^{-x} - e^{-2x}
y'(x)= -4e^{-x} + 2e^{-2x}.
Agora computo y'(x)+2y(x):
y'(x)+2y(x) = \bigl(-4e^{-x}+2e^{-2x}\bigr) + 2\bigl(4e^{-x}-e^{-2x}\bigr).
Agrupando termos:
= -4e^{-x}+2e^{-2x} + 8e^{-x} -2e^{-2x} = 4e^{-x}.
Isso confirma que a equação diferencial é satisfeita. Quanto à condição inicial, já usei y(0)=4+ C para obter C=-1, então
y(0)=4e^{0}-e^{0}=4-1=3,
logo a condição inicial também é satisfeita.

Resposta

y(x)=4e^{-x}-e^{-2x}

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