Resolva o PVI:
. Para cada problema, verifique a existência e unicidade de soluções e identifique a priori o(s) tipo(s) da equação. Em todos os problemas, apresente a solução explícita
(ou
) quando possível, e verifique que a condição inicial é satisfeita.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
As perguntas que vou responder são:
- Identificar o(s) tipo(s) da equação.
- Verificar existência e unicidade da solução.
- Encontrar a solução explícita
. - Verificar que a solução satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficientes: o termo que multiplica
é a constante . - Termo não homogêneo (forçamento):
. - Condição inicial:
.
Passo 2
Identificação do tipo da equação (explicando de forma simples):
- É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem porque envolve
(derivada primeira) e . - É linear e não homogênea na forma padrão
, aqui com e . - Tem coeficiente
constante (igual a ), portanto é uma equação linear de primeira ordem com coeficiente constante e termo forçante exponencial.
Observação rápida: por ser linear de primeira ordem, há um método padrão muito eficiente — o fator integrante — que vou usar.
Passo 3
Verificação de existência e unicidade (com explicação didática):
Reescrevo a equação na forma equivalente de valor inicial padrão
Reescrevo a equação na forma equivalente de valor inicial padrão
Defina
. As condições do teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf dizem que, se
for contínua em
e Lipschitz em
numa vizinhança do ponto inicial, então existe uma única solução passando por esse ponto, pelo menos localmente; se as condições valem globalmente, a solução é global.
-
é contínua em todo porque é combinação de funções contínuas. - Quanto à propriedade Lipschitz em
: é contínua, logo é globalmente Lipschitz em com constante .
Conclusão: existe uma única solução definida globalmente em
que satisfaz
.
Passo 4
Apresentação do método do fator integrante (aula rápida):
Para uma equação linear de primeira ordem na forma
Para uma equação linear de primeira ordem na forma
o fator integrante
é definido por
Multiplicando a equação por
obtemos
Assim a equação fica
, que podemos integrar para encontrar
e então
. Aqui cada símbolo significa:
-
é a função que multiplica ; -
é o termo não homogêneo; -
é uma função escolhida para transformar o lado esquerdo numa derivada exata .
Passo 5
Aplicando o fator integrante ao nosso caso:
Temos . Logo
Temos
Multiplico a equação original por
:
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada de
. Portanto
Passo 6
Integro ambos os lados para encontrar
:
onde
é constante de integração. Agora isolo
:
Essa é a solução geral da equação diferencial linear dada.
Passo 7
Aplicação da condição inicial para determinar a constante
:
A condição é . Substituo
na solução geral:
A condição é
Impondo
obtemos
Portanto a solução particular que satisfaz o PVI é
Passo 8
Verificação direta (mostrar que a solução satisfaz a EDO e a condição inicial):
Calculo da solução encontrada:
Calculo
Agora computo
:
Agrupando termos:
Isso confirma que a equação diferencial é satisfeita. Quanto à condição inicial, já usei
para obter
, então
logo a condição inicial também é satisfeita.