Resolva os PVIs (miscelânia).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse PVI (Problema de Valor Inicial). O que temos aqui é uma equação diferencial onde precisamos achar as funções $ y $ em função de $ x $ que satisfazem a equação:
E também temos a condição inicial $ y(1) = 1 $. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, como verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator de integração para torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções $ M $ e $ N $ na equação diferencial:
Uma equação diferencial na forma $ M dx + N dy = 0 $ é exata se ela satisfaz a condição:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $, a equação é exata. Isso significa que existe uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função $ \Phi(x, y) $. Para isso, integramos $ M $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função de $ y $ que surge da integração. Para encontrar $ h(y) $, derivamos $ \Phi $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N $:
Isso implica que $ h’(y) = 0 $, então $ h(y) $ é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.
Passo 4
Agora, temos a função potencial $ \Phi(x, y) $:
Onde $ C $ é uma constante. Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 5
Vamos usar a condição inicial $ y(1) = 1 $ para encontrar o valor de $ C $.
Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $ na equação:
Passo 6
Agora, substituímos $ C $ na solução geral:
Podemos simplificar essa expressão multiplicando todos os termos por 3 para eliminar os denominadores:
Resposta
A solução do PVI é dada por: