Dada a equação diferencial y'' +y=0, responda:
(B) y=A \cos (x)+B \operatorname{sen}(x), A e B \neq 0, é solução?

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y'' + y = 0
e pergunta se
y = A \cos(x) + B \operatorname{sen}(x),\quad A\ne0,\;B\ne0,
é solução. O conteúdo usado será derivação de funções trigonométricas e substituição na equação para verificar se o resultado é zero.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de y:
y = A \cos(x) + B \operatorname{sen}(x),
y' = -A \operatorname{sen}(x) + B \cos(x),
y'' = -A \cos(x) - B \operatorname{sen}(x).

Passo 3

Substituímos y e y'' em y''+y:
y'' + y = \bigl(-A \cos(x) - B \operatorname{sen}(x)\bigr) + \bigl(A \cos(x) + B \operatorname{sen}(x)\bigr).

Passo 4

Ao somar, os termos se cancelam:
y'' + y = -A \cos(x) - B \operatorname{sen}(x) + A \cos(x) + B \operatorname{sen}(x) = 0.
Como o resultado é zero para quaisquer constantes A e B, a função satisfaz a equação diferencial.

Resposta

Sim, y = A \cos(x) + B \operatorname{sen}(x) é solução de y'' + y = 0 mesmo quando A e B são não nulos.

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