Verifique se a equação \mathrm{y}^{\prime}=2 \mathrm{y} possui como solução \mathrm{y}=\mathrm{c} e^{2 x}, \mathrm{c}= constante .
Esta solução é única?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a família de funções
y(x)=C\,e^{2x},\quad C=\text{constante}
satisfaz a equação diferencial \,y'=2y, e depois questiona se essa solução é única. O conteúdo envolvido é EDO de primeira ordem, homogênea e separável, e o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf.

Passo 2

Para testar se y(x)=C\,e^{2x} satisfaz \,y'=2y, calculemos a derivada:
y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(C\,e^{2x}\bigr) = C\cdot2\,e^{2x} =2\bigl(C\,e^{2x}\bigr) =2\,y(x).
Como y'=2y resulta exatamente da derivada acima, concluímos que toda função da forma y=C\,e^{2x} é solução.

Passo 3

Para ver que não existe outra solução além dessa família, resolvemos a EDO por separação de variáveis:
\frac{dy}{dx}=2y \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}\,dy=2\,dx.
Integrando ambos os lados,
\int\frac{1}{y}\,dy=\int2\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert y\rvert=2x+K,
onde K é constante de integração. Exponenciando,
\lvert y\rvert=e^K\,e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad y=C\,e^{2x},
com C=\pm e^K. Logo, toda solução geral da EDO é dessa forma.

Passo 4

Quanto à unicidade: como a função f(x,y)=2y é contínua em (x,y) e satisfaz condição de Lipschitz em y em qualquer retângulo do plano, o teorema de existência e unicidade garante que, para cada condição inicial
\,y(x_0)=y_0, existe uma única solução. Isso fixa unicamente C=y_0\,e^{-2x_0}.

Resposta

A família
y(x)=C\,e^{2x},\quad C\in\mathbb{R},
é a solução geral de y'=2y, e em particular, dada qualquer condição inicial, essa solução é única.

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