Verifique se a equação
possui como solução
constante .
Esta solução é única?
Esta solução é única?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a família de funções
satisfaz a equação diferencial
, e depois questiona se essa solução é única. O conteúdo envolvido é EDO de primeira ordem, homogênea e separável, e o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf.
Passo 2
Para testar se
satisfaz
, calculemos a derivada:
Como
resulta exatamente da derivada acima, concluímos que toda função da forma
é solução.
Passo 3
Para ver que não existe outra solução além dessa família, resolvemos a EDO por separação de variáveis:
Integrando ambos os lados,
onde
é constante de integração. Exponenciando,
com
. Logo, toda solução geral da EDO é dessa forma.
Passo 4
Quanto à unicidade: como a função
é contínua em
e satisfaz condição de Lipschitz em
em qualquer retângulo do plano, o teorema de existência e unicidade garante que, para cada condição inicial
, existe uma única solução. Isso fixa unicamente
.
Resposta
A família
é a solução geral de
, e em particular, dada qualquer condição inicial, essa solução é única.