A soma das cargas ( q_{1} e q_{2} ) de duas pequenas esferas positivamente carregadas é 4,0 \times 10^{-6} \mathrm{C}. Se cada esfera é repelida pela outra com uma força eletrostática de intensidade 1,8 \mathrm{~N} e as esferas estão separadas por uma distância de 10 cm . Sabendo que o meio é o vácuo \left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \mathrm{Nm}^{2} / \mathrm{C}^{2}\right), qual é a carga da esfera com a maior carga? ( 6,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados fornecidos:
    • A soma das cargas é \,q_{1}+q_{2}=4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
    • A força eletrostática entre as esferas é \,F=1{,}8\\ \mathrm{N}.
    • A distância entre as esferas é \,10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
    • Constante eletrostática no vácuo: \,k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=9\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • O que o problema pede:
    • Determinar a carga da esfera com a maior carga (ou seja, o maior entre q_{1} e q_{2}).

Passo 2

Vamos usar a lei de Coulomb para relacionar a força com as cargas. A lei de Coulomb diz que a magnitude da força eletrostática entre duas cargas pontuais é
F = k\,\dfrac{q_{1}q_{2}}{r^{2}},
onde
  • F é a força (em newtons),
  • k é a constante eletrostática ( \,9\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}),
  • q_{1} e q_{2} são as cargas (em coulombs),
  • r é a separação entre elas (em metros).
Isolando o produto q_{1}q_{2}, obtemos
q_{1}q_{2}=\dfrac{F\,r^{2}}{k}.
Agora calculamos numericamente:
  • r^{2}=(0{,}10\\ \mathrm{m})^{2}=0{,}01\\ \mathrm{m^{2}}.
  • F\,r^{2}=1{,}8\times0{,}01=0{,}018.
  • Dividindo por k: \dfrac{0{,}018}{9\times10^{9}}=\dfrac{0{,}018}{9}\times10^{-9}=0{,}002\times10^{-9}=2{,}0\times10^{-12}.
Portanto
q_{1}q_{2}=2{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}}.

Passo 3

Agora temos a soma e o produto das duas incógnitas:
S=q_{1}+q_{2}=4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\qquad P=q_{1}q_{2}=2{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}}.
Qualquer par de números com soma S e produto P satisfaz a equação quadrática
x^{2}-Sx+P=0,
cujas raízes são q_{1} e q_{2}. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=\dfrac{S\pm\sqrt{S^{2}-4P}}{2}.
Precisamos calcular o discriminante:
\Delta=S^{2}-4P=(4{,}0\times10^{-6})^{2}-4(2{,}0\times10^{-12}).
Calcule passo a passo:
  • S^{2}=(4{,}0\times10^{-6})^{2}=16{,}0\times10^{-12}=1{,}6\times10^{-11}, ou mais simplesmente escreveremos 16\times10^{-12}.
  • 4P=4\times2{,}0\times10^{-12}=8{,}0\times10^{-12}.
  • Então \Delta=16\times10^{-12}-8\times10^{-12}=8\times10^{-12}.
A raiz do discriminante é
\sqrt{\Delta}=\sqrt{8\times10^{-12}}=\sqrt{8}\times10^{-6}\approx2{,}828427\!\times10^{-6}.

Passo 4

Agora obtemos as duas cargas:
q_{\pm}=\dfrac{4{,}0\times10^{-6}\pm2{,}828427\times10^{-6}}{2}.
Calculando:
  • Maior carga:
q_{\text{maior}}=\dfrac{4{,}0\times10^{-6}+2{,}828427\times10^{-6}}{2} =\dfrac{6{,}828427\times10^{-6}}{2}=3{,}4142135\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Menor carga (checagem):
q_{\text{menor}}=\dfrac{4{,}0\times10^{-6}-2{,}828427\times10^{-6}}{2} =\dfrac{1{,}171573\times10^{-6}}{2}=0{,}5857865\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Verificação rápida: 3{,}4142135\times10^{-6}+0{,}5857865\times10^{-6}=4{,}0\times10^{-6} e 3{,}4142135\times10^{-6}\times0{,}5857865\times10^{-6}\approx2{,}0\times10^{-12}, ou seja, bate com S e P.

Passo 5

Conclusão: a esfera com a maior carga tem aproximadamente 3{,}414\times10^{-6}\\ \mathrm{C}. Vai com calma: o raciocínio foi transformar a informação da força em produto das cargas (pela lei de Coulomb) e usar a soma dada para montar uma quadrática — daí as raízes nos dão diretamente as duas cargas. Tu consegue fazer isso na prova passo a passo igualzinho.

Resposta

3{,}41\times10^{-6}\\ \mathrm{C}

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