Resolva o PVI:
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI):
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial
.]
Passo 2
Forma padrão e escolha do método. Escrevemos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Comparando com a equação dada obtemos
Um método simples e direto para resolver esse tipo de equação é o fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo vire a derivada de
. A fórmula para o fator integrante é
Explico: se
então
e portanto
que coincide com
vezes o lado esquerdo original.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Como
,
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso obtemos
O lado direito simplifica para
O lado esquerdo é, pela propriedade do fator integrante,
Logo a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra diretamente para
. Agora calculemos a integral do lado direito. Usamos a fórmula de integração por partes:
Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando:
Fatorando
:
Passo 6
Igualando os resultados da integração:
onde
é constante arbitrária. Multiplicando por
para resolver para
:
Passo 7
Determinar a constante
usando a condição inicial
. Avaliando
:
Impondo
:
Passo 8
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular do PVI: