Resolva o PVI:
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime}-y=2 t e^{2 t} \\y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI):
\begin{cases} y^{\prime}-y=2 t e^{2 t},\\[4pt] y(0)=1. \end{cases}
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial y(0)=1.]

Passo 2

Forma padrão e escolha do método. Escrevemos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y' + p(t)\,y = g(t).
Comparando com a equação dada obtemos
p(t) = -1,\qquad g(t)=2t e^{2t}.
Um método simples e direto para resolver esse tipo de equação é o fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo vire a derivada de \mu(t)y(t). A fórmula para o fator integrante é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
Explico: se \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt} então \mu'(t)=p(t)\mu(t) e portanto
(\mu y)'=\mu y' + \mu' y = \mu y' + p\mu y,
que coincide com \mu vezes o lado esquerdo original.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t). Como p(t)=-1,
\mu(t)=e^{\int -1\,dt}=e^{-t}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(t)=e^{-t}. Fazendo isso obtemos
e^{-t}y' - e^{-t}y = 2t e^{2t}\cdot e^{-t}.
O lado direito simplifica para
2t e^{2t}\cdot e^{-t} = 2t e^{t}.
O lado esquerdo é, pela propriedade do fator integrante,
(e^{-t} y)' = e^{-t}y' - e^{-t}y.
Logo a equação fica
(e^{-t} y)' = 2t e^{t}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t:
\int (e^{-t} y)'\,dt = \int 2t e^{t}\,dt.
O lado esquerdo integra diretamente para e^{-t}y. Agora calculemos a integral do lado direito. Usamos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=2t e dv=e^{t}dt. Então du=2dt e v=e^{t}. Aplicando:
\int 2t e^{t}\,dt = 2t e^{t} - \int 2 e^{t}\,dt = 2t e^{t} - 2 e^{t} + C.
Fatorando 2e^{t}:
\int 2t e^{t}\,dt = 2 e^{t}(t-1) + C.

Passo 6

Igualando os resultados da integração:
e^{-t} y = 2 e^{t}(t-1) + C,
onde C é constante arbitrária. Multiplicando por e^{t} para resolver para y:
y(t) = 2 e^{2t}(t-1) + C e^{t}.

Passo 7

Determinar a constante C usando a condição inicial y(0)=1. Avaliando y(0):
y(0) = 2 e^{0}(0-1) + C e^{0} = 2\cdot 1\cdot(-1) + C = -2 + C.
Impondo y(0)=1:
-2 + C = 1 \quad\Rightarrow\quad C = 3.

Passo 8

Substituindo C=3 na solução geral obtemos a solução particular do PVI:
y(t)=2 e^{2t}(t-1) + 3 e^{t}.

Resposta

y(t)=2 e^{2t}(t-1)+3 e^{t}

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