Resolva o PVI e determine (pelo menos aproximadamente) um intervalo no qual a solução está definida
(a)
y^{\prime}=(1-2 x) y^{2}, \quad y(0)=-\frac{1}{6}

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) e pede duas coisas:
  • Resolver a equação diferencial com a condição inicial.
  • Determinar, pelo menos aproximadamente, um intervalo em que a solução esteja definida.
Informações fornecidas:
y'=(1-2x)y^{2},\qquad y(0)=-\frac{1}{6}.

Passo 2

Identificar um método apropriado (explicação didática): a equação é separável porque o lado direito é um produto de uma função de x por uma função de y. “Separar” significa escrever todos os termos em y multiplicando dy de um lado e todos os termos em x multiplicando dx do outro, para então integrar ambos os lados. Esse é o jeito mais direto e simples aqui.

Passo 3

Separação das variáveis (passo a passo concreto):
y'=\frac{dy}{dx}=(1-2x)y^{2}
Coloca-se os y com dy e os x com dx:
\frac{dy}{y^{2}}=(1-2x)\,dx.
Agora integra-se ambos os lados em relação às suas variáveis.

Passo 4

Integração (explicando as integrais):
  • Integral do lado esquerdo: usar que \displaystyle\int y^{-2}\,dy=\int \frac{1}{y^{2}}\,dy. Uma primitiva é -y^{-1}, porque \frac{d}{dy}(-y^{-1})=y^{-2}. Logo
\int \frac{dy}{y^{2}}=-\frac{1}{y}.
  • Integral do lado direito: \displaystyle\int(1-2x)\,dx=\int 1\,dx - 2\int x\,dx = x - x^{2} + C, onde C é a constante de integração.
Igualando as primitivias:
-\frac{1}{y}=x-x^{2}+C.

Passo 5

Usar a condição inicial para determinar C (detalhar substituição):
Substitui-se x=0 e y(0)=-\dfrac{1}{6}:
-\frac{1}{-\tfrac{1}{6}}=0-0+C \quad\Rightarrow\quad 6=C.
Portanto a relação entre y e x fica
-\frac{1}{y}=x-x^{2}+6.

Passo 6

Isolar y e escrever a solução explícita (passo algébrico claro):
Inverte-se a relação para obter y:
y(x)=-\frac{1}{\,x-x^{2}+6\,}.
Pode-se reescrever o denominador como -x^{2}+x+6, se preferir, mas a forma acima é clara e direta.

Passo 7

Determinar o intervalo de definição (explicação sobre singularidades):
A solução explícita só faz sentido quando o denominador não é zero. Vamos achar onde
x-x^{2}+6=0.
Reescrevendo:
-x^{2}+x+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{2}-x-6=0.
Resolver a quadrática (fórmula de Bhaskara/raízes):
x=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm5}{2}.
Logo as raízes são x=-2 e x=3. Nessas abscissas o denominador se anula e a solução tende a infinito (singularidade vertical). Como a condição inicial está em x=0, o maior intervalo aberto em que a solução está definida e que contém 0 é
(-2,\,3).
Justificativa curta: a solução obtida é a única solução local que passa por x=0 (teorema de existência e unicidade vale porque a função f(x,y)=(1-2x)y^{2} é contínua e localmente Lipschitz em y para x em qualquer intervalo que não atinja as singularidades). Essa solução pode ser prolongada até onde o denominador se anula, isto é, até x=-2 e x=3; portanto o intervalo maximal contendo 0 é (-2,3).

Resposta

y(x)=-\dfrac{1}{\,x-x^{2}+6\,}
Intervalo de definição (contendo 0): (-2,\,3)

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