Resolva o PVI e determine (pelo menos aproximadamente) um intervalo no qual a solução está definida
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) e pede duas coisas:
- Resolver a equação diferencial com a condição inicial.
- Determinar, pelo menos aproximadamente, um intervalo em que a solução esteja definida.
Informações fornecidas:
Passo 2
Identificar um método apropriado (explicação didática): a equação é separável porque o lado direito é um produto de uma função de
por uma função de
. “Separar” significa escrever todos os termos em
multiplicando
de um lado e todos os termos em
multiplicando
do outro, para então integrar ambos os lados. Esse é o jeito mais direto e simples aqui.
Passo 3
Separação das variáveis (passo a passo concreto):
Coloca-se os
com
e os
com
:
Agora integra-se ambos os lados em relação às suas variáveis.
Passo 4
Integração (explicando as integrais):
- Integral do lado esquerdo: usar que
. Uma primitiva é , porque . Logo
- Integral do lado direito:
, onde é a constante de integração.
Igualando as primitivias:
Passo 5
Usar a condição inicial para determinar
(detalhar substituição):
Substitui-se e
:
Substitui-se
Portanto a relação entre
e
fica
Passo 6
Isolar
e escrever a solução explícita (passo algébrico claro):
Inverte-se a relação para obter :
Inverte-se a relação para obter
Pode-se reescrever o denominador como
, se preferir, mas a forma acima é clara e direta.
Passo 7
Determinar o intervalo de definição (explicação sobre singularidades):
A solução explícita só faz sentido quando o denominador não é zero. Vamos achar onde
A solução explícita só faz sentido quando o denominador não é zero. Vamos achar onde
Reescrevendo:
Resolver a quadrática (fórmula de Bhaskara/raízes):
Logo as raízes são
e
. Nessas abscissas o denominador se anula e a solução tende a infinito (singularidade vertical). Como a condição inicial está em
, o maior intervalo aberto em que a solução está definida e que contém
é
Justificativa curta: a solução obtida é a única solução local que passa por
(teorema de existência e unicidade vale porque a função
é contínua e localmente Lipschitz em
para
em qualquer intervalo que não atinja as singularidades). Essa solução pode ser prolongada até onde o denominador se anula, isto é, até
e
; portanto o intervalo maximal contendo
é
.
Resposta
Intervalo de definição (contendo