Verifique se as seguintes séries são convergentes os divergentes. Justifique sua resposta
sumn=1^infty 1raiz3^n-1 (teste da comparação )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty1raiz3^n-1 é convergente ou divergente, usando o teste da comparação. O conteúdo envolvido é convergência de séries por comparação e vamos precisar de uma série geométrica como parâmetro de comparação.

Passo 2

Para aplicar o teste, note que para todo n>=1 valem as desigualdades
3^n - 1 >= 3^n2,
pois 3^n>=3>2. Tomando raiz quadrada, temos
raiz3^n - 1 >= raiz3^n2 = (raiz3)^nraiz2
Invertendo os termos positivos, obtemos
1raiz3^n - 1 <= raiz2(raiz3)^n

Passo 3

Considere a série de comparação
sumn=1^infty raiz2(raiz3)^n = raiz2 sumn=1^infty l(1raiz3r)^n
Como l|1/raiz3r|<1, essa série geométrica converge. Pelo teste da comparação, a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty1raiz3^n-1 é convergente.

Exercícios relacionados