Considere a função:
f(x, y)=raizx^2+y^2
Obtenha fy y(3,4).

Passo 1

Temos a função f(x,y)=\sqrt{x2+y2} e queremos encontrar a derivada parcial de segunda ordem em relação a y no ponto (3,4). Isso envolve derivadas parciais e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Para começar, achamos a derivada parcial de primeira ordem em relação a y aplicando a regra da cadeia à função f(x,y)=(x^2+y^2)^1/2:
fy = 12(x^2+y^2)^-1/2cdot 2y = yraizx^2+y^2

Passo 3

Agora, derivamos fy novamente em relação a y. Reescrevendo fy como y,(x^2+y^2)^-1/2 e usando a regra do produto junto com a regra da cadeia, temos:
fyy &= ddyl(y,(x^2+y^2)^-1/2r) &= (x^2+y^2)^-1/2 + ycdotl(-tfrac12r)(x^2+y^2)^-3/2cdot 2y

Passo 4

Olhando para os termos, o primeiro é (x^2+y^2)^-1/2 e o segundo é -y^2,(x^2+y^2)^-3/2. Colocando no mesmo denominador:
fyy(x,y) = x^2+y^2 - y^2(x^2+y^2)^3/2 = x^2(x^2+y^2)^3/2

Passo 5

Basta agora avaliar em (3,4):
fyy(3,4) = 3^2(3^2 + 4^2)^3/2 = 925^3/2 = 9125

Resposta

9/125

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