O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial linear de coeficientes constantes e as condições iniciais.
Informações relevantes fornecidas:
A equação é linear e tem coeficientes constantes.
O termo fonte (não-homogêneo) é e^{t}.
As três condições iniciais em t=0 são os valores de y, y' e y''.]
Passo 2
Explicação do método geral que vou usar (sem detalhar ainda os cálculos): para uma equação linear com coeficientes constantes, a solução geral é a soma da solução geral da equação homogênea associada (y_h) e de uma solução particular (y_p) da equação não-homogênea:
y(t)=y_h(t)+y_p(t).
Para obter y_h resolve-se a equação característica obtida substituindo y=e^{rt} (isto transforma derivadas em potências de r).
Para obter y_p usarei o método dos coeficientes a determinar (ansatz) apropriado ao termo não-homogêneo e^{t}. Se e^{\alpha t} é solução da homogênea com multiplicidade m, então na escolha do ansatz multiplica-se por t^{m}: isto evita coincidência com soluções homogêneas.
Passo 3
Encontrar a solução da equação homogênea associada:
Substituindo y=e^{rt} obtemos a equação característica
r^{3} - 4r^{2} + 5r - 2 = 0.
Agora vamos achar as raízes desse polinômio. Testando r=1:
1^{3}-4\cdot1^{2}+5\cdot1-2 = 1-4+5-2=0,
portanto r=1 é raiz. Fazendo a divisão do polinômio por (r-1) obtemos
r^{3}-4r^{2}+5r-2 = (r-1)(r^{2}-3r+2).
O quadrático fatoriza:
r^{2}-3r+2 = (r-1)(r-2).
Logo a fatoração completa é
r^{3}-4r^{2}+5r-2 = (r-1)^{2}(r-2).
As raízes são r=1 com multiplicidade 2 e r=2 simples. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_{1}e^{t} + C_{2} t e^{t} + C_{3} e^{2t},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.
(Explicação curta sobre por que aparece t e^{t}: quando uma raiz r=\alpha tem multiplicidade m, as soluções independentes associadas são e^{\alpha t},\, t e^{\alpha t},\dots, t^{m-1} e^{\alpha t}.)
Passo 4
Escolha do ansatz para a solução particular y_p.
O termo não-homogêneo é e^{t}. Se tentássemos y_p = A e^{t} isso colidiria com a solução homogênea porque e^{t} já é solução do homogênea (raiz r=1). Além disso r=1 tem multiplicidade 2, então precisamos multiplicar por t^{m} com m=2. Assim o ansatz adequado é
y_p(t) = A t^{2} e^{t},
onde A é constante a determinar.
(Justificativa pedagógica: multiplicar por t^{m} garante que y_p não pertença ao espaço das soluções homogêneas, permitindo determinar A.)
Passo 5
Calcular as derivadas de y_p e substituir na EDO para encontrar A.
Começo calculando as derivadas de y_p(t)=A t^{2} e^{t}. Usando regra do produto e explicando cada termo: