Resolva o PVI de 3 . Ordem:
\left\{\begin{array}{c} y^{(3)}-4 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-2 y=e^{t} \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0 \\\ y^{\prime \prime}(0)=2 \end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Temos o problema de valor inicial (PVI) de terceira ordem:
\left\{\begin{array}{l} y^{(3)} - 4y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} - 2y = e^{t},\\[4pt] y(0)=1,\\[2pt] y^{\prime}(0)=0,\\[2pt] y^{\prime\prime}(0)=2. \end{array}\right.
  • O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial linear de coeficientes constantes e as condições iniciais.
  • Informações relevantes fornecidas:
    • A equação é linear e tem coeficientes constantes.
    • O termo fonte (não-homogêneo) é e^{t}.
    • As três condições iniciais em t=0 são os valores de y, y' e y''.]

Passo 2

Explicação do método geral que vou usar (sem detalhar ainda os cálculos): para uma equação linear com coeficientes constantes, a solução geral é a soma da solução geral da equação homogênea associada ( y_h) e de uma solução particular ( y_p) da equação não-homogênea:
y(t)=y_h(t)+y_p(t).
  • Para obter y_h resolve-se a equação característica obtida substituindo y=e^{rt} (isto transforma derivadas em potências de r).
  • Para obter y_p usarei o método dos coeficientes a determinar (ansatz) apropriado ao termo não-homogêneo e^{t}. Se e^{\alpha t} é solução da homogênea com multiplicidade m, então na escolha do ansatz multiplica-se por t^{m}: isto evita coincidência com soluções homogêneas.

Passo 3

Encontrar a solução da equação homogênea associada:
y^{(3)} - 4y^{\prime\prime} + 5y^{\prime} - 2y = 0.
Substituindo y=e^{rt} obtemos a equação característica
r^{3} - 4r^{2} + 5r - 2 = 0.
Agora vamos achar as raízes desse polinômio. Testando r=1:
1^{3}-4\cdot1^{2}+5\cdot1-2 = 1-4+5-2=0,
portanto r=1 é raiz. Fazendo a divisão do polinômio por (r-1) obtemos
r^{3}-4r^{2}+5r-2 = (r-1)(r^{2}-3r+2).
O quadrático fatoriza:
r^{2}-3r+2 = (r-1)(r-2).
Logo a fatoração completa é
r^{3}-4r^{2}+5r-2 = (r-1)^{2}(r-2).
As raízes são r=1 com multiplicidade 2 e r=2 simples. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_{1}e^{t} + C_{2} t e^{t} + C_{3} e^{2t},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.
(Explicação curta sobre por que aparece t e^{t}: quando uma raiz r=\alpha tem multiplicidade m, as soluções independentes associadas são e^{\alpha t},\, t e^{\alpha t},\dots, t^{m-1} e^{\alpha t}.)

Passo 4

Escolha do ansatz para a solução particular y_p.
O termo não-homogêneo é e^{t}. Se tentássemos y_p = A e^{t} isso colidiria com a solução homogênea porque e^{t} já é solução do homogênea (raiz r=1). Além disso r=1 tem multiplicidade 2, então precisamos multiplicar por t^{m} com m=2. Assim o ansatz adequado é
y_p(t) = A t^{2} e^{t},
onde A é constante a determinar.
(Justificativa pedagógica: multiplicar por t^{m} garante que y_p não pertença ao espaço das soluções homogêneas, permitindo determinar A.)

Passo 5

Calcular as derivadas de y_p e substituir na EDO para encontrar A.
Começo calculando as derivadas de y_p(t)=A t^{2} e^{t}. Usando regra do produto e explicando cada termo:
  • Primeira derivada:
y_p' = A\frac{d}{dt}(t^{2} e^{t}) = A\big(2t e^{t} + t^{2} e^{t}\big) = A e^{t}\big(t^{2}+2t\big).
  • Segunda derivada:
y_p'' = A\frac{d}{dt}\big(e^{t}(t^{2}+2t)\big) = A e^{t}\big(t^{2}+2t\big) + A e^{t}\big(2t+2\big) = A e^{t}\big(t^{2}+4t+2\big).
  • Terceira derivada:
y_p^{(3)} = A\frac{d}{dt}\big(e^{t}(t^{2}+4t+2)\big) = A e^{t}\big(t^{2}+4t+2\big) + A e^{t}\big(2t+4\big) = A e^{t}\big(t^{2}+6t+6\big).
Agora substituo na equação diferencial (lado esquerdo):
y_p^{(3)} - 4y_p'' + 5y_p' - 2y_p = A e^{t}\Big[(t^{2}+6t+6) -4(t^{2}+4t+2) +5(t^{2}+2t) -2t^{2}\Big].
Vou simplificar o polinômio dentro dos colchetes termo a termo.
  • Coeficiente de t^{2}: 1 - 4 + 5 - 2 = 0.
  • Coeficiente de t: 6 - 16 + 10 + 0 = 0.
  • Termo constante: 6 - 8 + 0 + 0 = -2.
Logo o conteúdo do colchete é constante -2. Portanto
y_p^{(3)} - 4y_p'' + 5y_p' - 2y_p = A e^{t}(-2) = -2A e^{t}.
Isto deve ser igual ao lado direito e^{t}. Assim
-2A e^{t} = e^{t} \quad\Rightarrow\quad -2A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{1}{2}.
Portanto a solução particular é
y_p(t) = -\tfrac{1}{2} t^{2} e^{t}.

Passo 6

Escrever a solução geral completa e preparar para usar as condições iniciais:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_{1}e^{t} + C_{2} t e^{t} + C_{3} e^{2t} - \tfrac{1}{2} t^{2} e^{t}.
Para facilitar os cálculos, fatoro e^{t} nos termos que o têm:
y(t) = e^{t}\Big(C_{1} + C_{2} t - \tfrac{1}{2} t^{2}\Big) + C_{3} e^{2t}.
Agora vou calcular y'(t) e y''(t) em forma conveniente para aplicar as condições em t=0.
Defino a função polinomial interior
P(t) = C_{1} + C_{2} t - \tfrac{1}{2} t^{2}.
Então y(t) = e^{t}P(t) + C_{3} e^{2t}.
Derivando:
y'(t) = e^{t}P(t) + e^{t}P'(t) + 2C_{3} e^{2t} = e^{t}\big(P(t)+P'(t)\big) + 2C_{3} e^{2t}.
Calculo P'(t) = C_{2} - t. Então
P(t)+P'(t) = -\tfrac{1}{2}t^{2} + (C_{2}-1)t + (C_{1}+C_{2}).
Logo
y'(t) = e^{t}\Big(-\tfrac{1}{2}t^{2} + (C_{2}-1)t + C_{1}+C_{2}\Big) + 2C_{3} e^{2t}.
Para y''(t), derivando y'(t)=e^{t}Q(t)+2C_{3}e^{2t} onde Q(t)= -\tfrac{1}{2}t^{2} + (C_{2}-1)t + C_{1}+C_{2}, obtemos
y''(t) = e^{t}Q(t) + e^{t}Q'(t) + 4C_{3} e^{2t} = e^{t}\big(Q(t)+Q'(t)\big) + 4C_{3} e^{2t}.
Calculo Q'(t) = -t + (C_{2}-1). Somando:
Q(t)+Q'(t) = -\tfrac{1}{2}t^{2} + (C_{2}-2)t + (C_{1}+2C_{2}-1).
Portanto
y''(t) = e^{t}\Big(-\tfrac{1}{2}t^{2} + (C_{2}-2)t + C_{1}+2C_{2}-1\Big) + 4C_{3} e^{2t}.

Passo 7

Aplicar as condições iniciais em t=0 para determinar C_{1},C_{2},C_{3}.
  • Condição y(0)=1:
y(0) = e^{0}\big(C_{1} + 0 - 0\big) + C_{3} e^{0} = C_{1} + C_{3} = 1.
Logo
\text{(I)}\quad C_{1} + C_{3} = 1.
  • Condição y'(0)=0:
    Avalio y'(0) usando a expressão do Passo 6:
y'(0) = e^{0}\big(0 + 0 + C_{1}+C_{2}\big) + 2C_{3} e^{0} = C_{1}+C_{2}+2C_{3} = 0.
Logo
\text{(II)}\quad C_{1}+C_{2}+2C_{3}=0.
  • Condição y''(0)=2:
    Avalio y''(0) usando expressão do Passo 6:
y''(0) = e^{0}\big(0 + 0 + C_{1}+2C_{2}-1\big) + 4C_{3} e^{0} = C_{1}+2C_{2}-1+4C_{3} = 2.
Portanto
\text{(III)}\quad C_{1}+2C_{2}+4C_{3}=3.

Passo 8

Resolver o sistema linear para C_{1},C_{2},C_{3}.
Do (I): C_{1} = 1 - C_{3}.
Substituo em (II):
(1-C_{3}) + C_{2} + 2C_{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad 1 + C_{2} + C_{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad C_{2} + C_{3} = -1.
Substituo C_{1}=1-C_{3} em (III):
(1-C_{3}) + 2C_{2} + 4C_{3} = 3 \quad\Rightarrow\quad 1 + 2C_{2} + 3C_{3} = 3 \quad\Rightarrow\quad 2C_{2} + 3C_{3} = 2.
Agora uso C_{2} = -1 - C_{3} (obtido acima) na última equação:
2(-1 - C_{3}) + 3C_{3} = 2 \quad\Rightarrow\quad -2 -2C_{3} +3C_{3} = 2 \quad\Rightarrow\quad -2 + C_{3} = 2.
Assim C_{3} = 4.
Então C_{2} = -1 - C_{3} = -1 -4 = -5.
E C_{1} = 1 - C_{3} = 1 -4 = -3.
Confirmação rápida (opcional): verificar (III) C_{1}+2C_{2}+4C_{3} = -3 + 2(-5) + 16 = -3 -10 +16 = 3 OK.

Passo 9

Escrever a solução final com os coeficientes determinados. Substituindo C_{1}=-3, C_{2}=-5, C_{3}=4 na solução geral do Passo 6:
y(t) = -3 e^{t} -5 t e^{t} + 4 e^{2t} - \tfrac{1}{2} t^{2} e^{t}.
Podemos também agrupar os termos com e^{t}:
y(t) = e^{t}\Big(-3 -5t - \tfrac{1}{2} t^{2}\Big) + 4 e^{2t}.

Resposta

y(t) = -3 e^{t} -5 t e^{t} + 4 e^{2t} - \tfrac{1}{2} t^{2} e^{t}.

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