Um sistema massa mola sem amortecimento, inicialmente em repouso, é submetido a uma força constante, atuando do instante t=pi até o instante t=2 pi, de modo que o movimento do corpo é modelado pelo PVI
y^prime prime+4 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=0
em que f(t)=2, para pi <= t<2 pi e f(t)=0, caso contrário. Use a transformada de Laplace para determinar a solução do PVI. Assinale a alternativa que descreve o movimento do corpo a partir do instante em que a força para de atuar, isto é, para t>2 pi.
a y(t)=2 sin (2 t)+2 cos (2 t).
(e) y(t)=sin (2 t)2+cos (2 t)2.
b y(t)=cos (2 t).
y(t)=0.
c] y(t)=12-cos (2 t)2.
[g y(t)=cos (2 t)2.
d y(t)=2-2 cos (2 t).
h y(t)=sin (2 t)2.

Passo 1

A gente tem um sistema massa-mola sem amortecimento, com equação y''+4y=f(t) e condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0. A força é constante f(t)=2 só no intervalo [pi,2pi) e zero em outros instantes. O enunciado pede pra usar Laplace e achar o movimento depois que a força para, ou seja para t>2pi. Vamos precisar das transformadas de Laplace, da decomposição em frações parciais e do teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Tomando Laplace na equação e usando as condições iniciais obtemos
s^2Y(s)+4Y(s)=F(s)
ou seja
Y(s)=F(s)s^2+4

Passo 3

Como f(t)=2l(u(t-pi)-u(t-2pi)r), sua transformada é
F(s)=2e^-pi s-e^-2pi ss
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Y(s)=2e^-pi s-e^-2pi ss(s^2+4)

Passo 4

Agora fazemos frações parciais em

Passo 5

Invertendo sem deslocamento dá
z(t)= L^-1tfrac1s(s^2+4)=(tfrac14-tfrac14cos2t)u(t)=tfrac14(1-cos2t)u(t)

Passo 6

Pelo teorema do deslocamento,
L^-1e^-a sZ(s)=z(t-a)u(t-a)

Passo 7

Assim
$$y(t)=2,z(t-\pi)u(t-\pi)-2,z(t-2\pi)u(t-2\pi).
$$

Passo 8

Para t>2pi temos ambas as funções de Heaviside ativas, então
y(t)=2tfrac14(1-cos(2(t-pi)))-2tfrac14(1-cos(2(t-2pi)))
Como cos(2t-2pi)=cos2t e cos(2t-4pi)=cos2t, os dois termos se cancelam, dando y(t)=0 para t>2pi.

Resposta

Para t>2pi, y(t)=0.

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