Um sistema massa mola sem amortecimento, inicialmente em repouso, é submetido a uma força constante, atuando do instante
até o instante
, de modo que o movimento do corpo é modelado pelo PVI
em que
, para
e
, caso contrário. Use a transformada de Laplace para determinar a solução do PVI. Assinale a alternativa que descreve o movimento do corpo a partir do instante em que a força para de atuar, isto é, para
.
a
.
(e)
.
b
.
.
c]
.
[g
.
d
.
h
.
a
(e)
b
c]
[g
d
h
Passo 1
A gente tem um sistema massa-mola sem amortecimento, com equação
e condições iniciais
. A força é constante
só no intervalo
e zero em outros instantes. O enunciado pede pra usar Laplace e achar o movimento depois que a força para, ou seja para
. Vamos precisar das transformadas de Laplace, da decomposição em frações parciais e do teorema do deslocamento no tempo.
Passo 2
Tomando Laplace na equação e usando as condições iniciais obtemos
ou seja
Passo 3
Como
, sua transformada é
Logo
Passo 4
Agora fazemos frações parciais em
Passo 5
Invertendo sem deslocamento dá
Passo 6
Pelo teorema do deslocamento,
Passo 7
Assim
$$y(t)=2,z(t-\pi)u(t-\pi)-2,z(t-2\pi)u(t-2\pi).
$$
Passo 8
Para
temos ambas as funções de Heaviside ativas, então
Como
Resposta
Para
,
.