( 6 pontos ) Encontre a série de Taylor (seu raio e intervalo de convergência) da função f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right) centrada em a=0. Utilize essa série para encontrar uma série de potências para a primitiva \int x \cos \left(x^{2}\right) d x.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr) em torno de a=0, com seu raio e intervalo de convergência, e em seguida usar essa série para obter uma série de potências para \displaystyle \int x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx. Vamos precisar da série de Taylor de \operatorname{sen} z e de \cos z e depois trocar z=x^{2}, além de integrar termo a termo.
Passo 2
Sabemos que a expansão de Taylor de \operatorname{sen} z em torno de 0 é
\operatorname{sen} z \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.