( 6 pontos ) Encontre a série de Taylor (seu raio e intervalo de convergência) da função f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{2}\right) centrada em a=0. Utilize essa série para encontrar uma série de potências para a primitiva \int x \cos \left(x^{2}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr) em torno de a=0, com seu raio e intervalo de convergência, e em seguida usar essa série para obter uma série de potências para \displaystyle \int x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx. Vamos precisar da série de Taylor de \operatorname{sen} z e de \cos z e depois trocar z=x^{2}, além de integrar termo a termo.

Passo 2

Sabemos que a expansão de Taylor de \operatorname{sen} z em torno de 0 é
\operatorname{sen} z \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 3

Substituindo z=x^{2} obtemos
\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{(x^{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}.
Para verificar o raio de convergência, aplique o critério da razão aos coeficientes a_{n}=1/(2n+1)! e às potências x^{4n+2}:
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}\,x^{4(n+1)+2}}{a_{n}\,x^{4n+2}}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{4}}{(2n+3)(2n+2)}=0<1
para todo x. Logo o raio é R=\infty e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

Passo 4

Para integrar x\cos(x^{2}) é útil primeiro a série de \cos z:
\cos z=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{z^{2n}}{(2n)!}.
Substituindo z=x^{2} e multiplicando por x
x\cos\bigl(x^{2}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x\,(x^{2})^{2n}}{(2n)!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+1}}{(2n)!}.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
\int x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\int \frac{x^{4n+1}}{(2n)!}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{(4n+2)\,(2n)!}+C.
Como 4n+2=2(2n+1) e (2n+1)!=(2n+1)(2n)!, podemos reescrever
\frac{1}{(4n+2)\,(2n)!} =\frac{1}{2\,(2n+1)\,(2n)!} =\frac{1}{2\,(2n+1)!},
ficando
\int x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{2\,(2n+1)!}+C.

Resposta

A série de Taylor de f(x)=\operatorname{sen}(x^{2}) em torno de 0 é
\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!},
com raio de convergência R=\infty e intervalo (-\infty,\infty).
A primitiva de x\cos(x^{2}) tem a série de potências
\int x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{4n+2}}{2\,(2n+1)!}+C.

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