resolva o PVI, se uma solução y_{1}(x) da EDO é dada. x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0, \quad y_{1}(x)=x^{2}+x^{3}, \quad y(1)=0, \quad y^{\prime}(1)=3
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução do problema de valor inicial:
x^{2}y''-4xy'+6y=0,
uma solução conhecida
y_{1}(x)=x^{2}+x^{3},
e as condições iniciais
y(1)=0,\qquad y'(1)=3.
Portanto a tarefa é: usar a informação de y_{1} para encontrar a solução geral da EDO e, em seguida, determinar a solução particular que satisfaz y(1)=0 e y'(1)=3.
Passo 2
Colocar a EDO na forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1). Divido tudo por x^{2} (consideramos x\neq0):
y'' - \frac{4}{x}y' + \frac{6}{x^{2}}y = 0.
Aqui posso identificar as funções
P(x)=-\frac{4}{x},\qquad Q(x)=\frac{6}{x^{2}}.
Explico: escrever a EDO nesta forma é necessário porque a técnica que vamos usar (redução de ordem) exige a forma y''+P(x)y'+Q(x)y=0.
Passo 3
Apresento a técnica de redução de ordem de forma prática e intuitiva. Se conhecemos uma solução y_{1}(x) de uma EDO linear de segunda ordem homogênea, uma fórmula direta para obter uma segunda solução linearmente independente é
O que significam os termos: P(x) é o coeficiente de y' na forma padrão; a exponencial compensa o termo de primeira derivada ao reduzir a ordem; dividir por y_{1}^{2} surge da álgebra da redução de ordem. Não precisamos demonstrar aqui a fórmula inteira; a ideia prática é usá-la passo a passo.
Passo 4
Calcular a exponencial presente na fórmula. Primeiro \int P(x)\,dx=\int -\frac{4}{x}\,dx=-4\ln|x|. Então
Lembre que \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}. Então
\int \frac{1}{(1+x)^{2}}\,dx=-\frac{1}{1+x}+C.
Passo 7
Construir y_{2} usando a fórmula: escolhermos a primitiva sem constante (constante multiplicativa pode ser absorvida na constante da solução geral). Então
Para facilitar, chamo A=C_{1}+C_{2} e B=C_{1}, então
y(x)=Ax^{2}+Bx^{3},
onde A,B são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Passo 10
Aplicar as condições iniciais. Primeiro y(1)=0 dá
A\cdot1^{2}+B\cdot1^{3}=A+B=0.
Segundo, calcule y'(x):
y'(x)=2Ax+3Bx^{2}.
Avalio em x=1 e imponho y'(1)=3:
2A+3B=3.
Passo 11
Resolver o sistema linear para A\) e \(B\):
\[\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 2A+3B=3. \end{cases}
Da primeira equação A=-B\]. Substituindo na segunda:
\[2(-B)+3B=3 \implies -2B+3B=B=3.\]
Então \(B=3 e A=-B=-3.]
Passo 12
Substituir A e B na expressão de y(x):
y(x)=Ax^{2}+Bx^{3}=(-3)x^{2}+3x^{3}=3x^{2}(x-1).
Essa é a solução particular que satisfaz as condições iniciais. Posso fazer uma checagem rápida: em x=1 temos y(1)=3\cdot1^{2}(1-1)=0 e y'(x)=6x(x-1)+3x^{2}=3x^{2}+6x(x-1) (ou usando derivada direta), que em x=1 dá 3. Tudo coerente.