resolva o PVI, se uma solução y_{1}(x) da EDO é dada.
x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0, \quad y_{1}(x)=x^{2}+x^{3}, \quad y(1)=0, \quad y^{\prime}(1)=3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução do problema de valor inicial:
x^{2}y''-4xy'+6y=0,
uma solução conhecida
y_{1}(x)=x^{2}+x^{3},
e as condições iniciais
y(1)=0,\qquad y'(1)=3.
Portanto a tarefa é: usar a informação de y_{1} para encontrar a solução geral da EDO e, em seguida, determinar a solução particular que satisfaz y(1)=0 e y'(1)=3.

Passo 2

Colocar a EDO na forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1). Divido tudo por x^{2} (consideramos x\neq0):
y'' - \frac{4}{x}y' + \frac{6}{x^{2}}y = 0.
Aqui posso identificar as funções
P(x)=-\frac{4}{x},\qquad Q(x)=\frac{6}{x^{2}}.
Explico: escrever a EDO nesta forma é necessário porque a técnica que vamos usar (redução de ordem) exige a forma y''+P(x)y'+Q(x)y=0.

Passo 3

Apresento a técnica de redução de ordem de forma prática e intuitiva. Se conhecemos uma solução y_{1}(x) de uma EDO linear de segunda ordem homogênea, uma fórmula direta para obter uma segunda solução linearmente independente é
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}(x)^{2}}\,dx.
O que significam os termos: P(x) é o coeficiente de y' na forma padrão; a exponencial compensa o termo de primeira derivada ao reduzir a ordem; dividir por y_{1}^{2} surge da álgebra da redução de ordem. Não precisamos demonstrar aqui a fórmula inteira; a ideia prática é usá-la passo a passo.

Passo 4

Calcular a exponencial presente na fórmula. Primeiro \int P(x)\,dx=\int -\frac{4}{x}\,dx=-4\ln|x|. Então
e^{-\int P(x)\,dx}=e^{-(-4\ln|x|)}=e^{4\ln|x|}=|x|^{4}.
Como vamos trabalhar em intervalos onde x>0 (condição inicial em x=1), podemos usar x^{4}. Portanto o integrando vira
\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}=\frac{x^{4}}{(x^{2}+x^{3})^{2}}.

Passo 5

Simplificar o integrando usando fator comum. Note que y_{1}(x)=x^{2}+x^{3}=x^{2}(1+x). Assim
y_{1}(x)^{2}=x^{4}(1+x)^{2},
e portanto
\frac{x^{4}}{y_{1}^{2}}=\frac{x^{4}}{x^{4}(1+x)^{2}}=\frac{1}{(1+x)^{2}}.
Ótimo — o integrando ficou bem simples!

Passo 6

Integrar o integrando simplificado:
\int \frac{1}{(1+x)^{2}}\,dx.
Lembre que \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}. Então
\int \frac{1}{(1+x)^{2}}\,dx=-\frac{1}{1+x}+C.

Passo 7

Construir y_{2} usando a fórmula: escolhermos a primitiva sem constante (constante multiplicativa pode ser absorvida na constante da solução geral). Então
y_{2}(x)=y_{1}(x)\left(-\frac{1}{1+x}\right)=-\frac{x^{2}+x^{3}}{1+x}.
Simplificando o quociente:
-\frac{x^{2}+x^{3}}{1+x}=-\frac{x^{2}(1+x)}{1+x}=-x^{2}.
Uma constante multiplicativa irrelevante pode ser removida, então podemos tomar como segunda solução
y_{2}(x)=x^{2}.

Passo 8

Verificar rapidamente que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes (só para segurança). Calculo o wronskiano em x=1:
W(y_{1},y_{2})(1)=\begin{vmatrix} y_{1}(1) & y_{2}(1) \\\ y_{1}'(1) & y_{2}'(1)\end{vmatrix}.
Aqui y_{1}(x)=x^{2}+x^{3} então y_{1}(1)=2 e y_{1}'(x)=2x+3x^{2} então y_{1}'(1)=5. Para y_{2}(x)=x^{2} temos y_{2}(1)=1 e y_{2}'(1)=2. Assim
W(1)=\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 5 & 2\end{vmatrix}=2\cdot2-5\cdot1=4-5=-1\neq0,
logo são linearmente independentes. Perfeito — temos uma base de soluções.

Passo 9

Formar a solução geral da EDO como combinação linear:
y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)=C_{1}(x^{2}+x^{3})+C_{2}x^{2}.
Agrupando termos em potências de x:
y(x)=(C_{1}+C_{2})x^{2}+C_{1}x^{3}.
Para facilitar, chamo A=C_{1}+C_{2} e B=C_{1}, então
y(x)=Ax^{2}+Bx^{3},
onde A,B são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.

Passo 10

Aplicar as condições iniciais. Primeiro y(1)=0
A\cdot1^{2}+B\cdot1^{3}=A+B=0.
Segundo, calcule y'(x):
y'(x)=2Ax+3Bx^{2}.
Avalio em x=1 e imponho y'(1)=3:
2A+3B=3.

Passo 11

Resolver o sistema linear para A\) e \(B\): \[\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] 2A+3B=3. \end{cases}
Da primeira equação A=-B\]. Substituindo na segunda: \[2(-B)+3B=3 \implies -2B+3B=B=3.\] Então \(B=3 e A=-B=-3.]

Passo 12

Substituir A e B na expressão de y(x):
y(x)=Ax^{2}+Bx^{3}=(-3)x^{2}+3x^{3}=3x^{2}(x-1).
Essa é a solução particular que satisfaz as condições iniciais. Posso fazer uma checagem rápida: em x=1 temos y(1)=3\cdot1^{2}(1-1)=0 e y'(x)=6x(x-1)+3x^{2}=3x^{2}+6x(x-1) (ou usando derivada direta), que em x=1 3. Tudo coerente.

Resposta

y(x)=3x^{2}(x-1)

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