encontre uma segunda solução da EDO linear de 2^{\underline{a}} ordem, a partir da solução dada, isto é, use o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução. (1+2 x) y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}-4 y=0, \quad y_{1}=e^{-2 x}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem homogênea
(1+2x)\,y''+4x\,y'-4y=0
e fornece uma solução conhecida
y_{1}=e^{-2x}.
O que se pede: encontrar uma segunda solução linearmente independente de \,y_{1}\, usando o método da redução de ordem (ou seja, construir y_{2} tal que \{y_{1},y_{2}\} seja uma base de soluções).
Colocar a equação na forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1) facilita o uso do método. Dividimos toda a equação por (1+2x) (assumimos 1+2x\neq0 no intervalo considerado) para obter
Aqui definimos P(x)=\dfrac{4x}{1+2x} e Q(x)=\dfrac{4}{1+2x}. Estas funções aparecem na forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y=0.
Passo 3
Explicar o método da redução de ordem (intuição e fórmula útil).
Intuição: se conhecemos uma solução y_{1} de uma EDO linear homogênea de segunda ordem, podemos procurar outra solução da forma
y(x)=u(x)\,y_{1}(x),
onde u(x) é uma função desconhecida. Ao substituir essa expressão na equação e usar que y_{1} satisfaz a EDO, as parcelas com u anulam-se, restando uma equação de ordem inferior para u' (ou para w=u'), que costuma ser solucionável por integração.
Há também uma fórmula direta prática (que vem dessa derivação): se y_{1} é uma solução da equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0, então uma segunda solução linearmente independente é dada por
onde a constante de integração pode ser ignorada (ou ajustada) porque multiplicar y_{2} por constante não altera independência linear. Vou aplicar essa fórmula; em seguida explico brevemente de onde ela vem (se quiser pulo a justificativa, mas aqui vou mostrar a ideia rapidamente).
Breve derivação da fórmula (essencial, sem pular passos importantes): suponha y=u y_{1}. Então
2\int x e^{2x}\,dx = x e^{2x} - \frac{1}{2}e^{2x}.
Somando com \dfrac{1}{2}e^{2x} obtemos
\int (1+2x)e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + \left(x e^{2x} - \frac{1}{2}e^{2x}\right) = x e^{2x} + C.
Portanto podemos escolher a primitiva (ignorando a constante porque só precisamos de uma solução) como x e^{2x}.
Passo 7
Voltar para y_{2}:
y_{2}=e^{-2x}\cdot \bigl(x e^{2x}\bigr) = x.
Concluímos que y_{2}(x)=x é uma solução da equação original. É fácil verificar substituindo diretamente na equação: para y=x temos y'=1 e y''=0, então
(1+2x)\cdot 0 + 4x\cdot 1 -4\cdot x = 4x-4x=0,
logo realmente satisfaz a equação.
Também é claro que y_{1}=e^{-2x} e y_{2}=x são linearmente independentes (por exemplo, o Wronskiano não é identicamente zero), então formam um conjunto fundamental de soluções.