encontre uma segunda solução da EDO linear de 2^{\underline{a}} ordem, a partir da solução dada, isto é, use o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução.
(1+2 x) y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}-4 y=0, \quad y_{1}=e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem homogênea
(1+2x)\,y''+4x\,y'-4y=0
e fornece uma solução conhecida
y_{1}=e^{-2x}.
O que se pede: encontrar uma segunda solução linearmente independente de \,y_{1}\, usando o método da redução de ordem (ou seja, construir y_{2} tal que \{y_{1},y_{2}\} seja uma base de soluções).
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Equação: }(1+2x)\,y''+4x\,y'-4y=0,\\\ &\text{Solução conhecida: }y_{1}=e^{-2x}. \end{aligned}çãçã

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1) facilita o uso do método. Dividimos toda a equação por (1+2x) (assumimos 1+2x\neq0 no intervalo considerado) para obter
y''+\underbrace{\frac{4x}{1+2x}}_{P(x)}y'-\underbrace{\frac{4}{1+2x}}_{Q(x)}y=0.
Aqui definimos P(x)=\dfrac{4x}{1+2x} e Q(x)=\dfrac{4}{1+2x}. Estas funções aparecem na forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y=0.

Passo 3

Explicar o método da redução de ordem (intuição e fórmula útil).
Intuição: se conhecemos uma solução y_{1} de uma EDO linear homogênea de segunda ordem, podemos procurar outra solução da forma
y(x)=u(x)\,y_{1}(x),
onde u(x) é uma função desconhecida. Ao substituir essa expressão na equação e usar que y_{1} satisfaz a EDO, as parcelas com u anulam-se, restando uma equação de ordem inferior para u' (ou para w=u'), que costuma ser solucionável por integração.
Há também uma fórmula direta prática (que vem dessa derivação): se y_{1} é uma solução da equação na forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0, então uma segunda solução linearmente independente é dada por
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx,
onde a constante de integração pode ser ignorada (ou ajustada) porque multiplicar y_{2} por constante não altera independência linear. Vou aplicar essa fórmula; em seguida explico brevemente de onde ela vem (se quiser pulo a justificativa, mas aqui vou mostrar a ideia rapidamente).
Breve derivação da fórmula (essencial, sem pular passos importantes): suponha y=u y_{1}. Então
y'=u' y_{1}+u y_{1}',\qquad y''=u'' y_{1}+2u' y_{1}'+u y_{1}''.
Substituindo em y''+P y'+Q y=0 e usando que y_{1} satisfaz a equação (ou seja, y_{1}''+P y_{1}'+Q y_{1}=0), as parcelas com u cancelam e sobra
u'' y_{1} + 2u' y_{1}'+P u' y_{1}=0.
Colocando w=u' (reduzimos a ordem), obtemos
w' y_{1} + w(2 y_{1}'+P y_{1})=0.
Isto é uma equação linear de primeira ordem para w. Escrevendo em forma padrão
w' + w\left(\frac{2 y_{1}'}{y_{1}}+P\right)=0.
A solução geral para w é
w = C\,\exp\left(-\int\left(\frac{2 y_{1}'}{y_{1}}+P\right)dx\right) = C\,\frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}.
Integrando w=u'
u=\int w\,dx = C\int \frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx,
e portanto
y_{2}=y_{1}\,u=y_{1}\int \frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx,
que é a fórmula usada acima.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao nosso problema: já temos y_{1}=e^{-2x} e P(x)=\dfrac{4x}{1+2x}. Primeiro calculamos a primitiva \int P(x)\,dx.
Vamos simplificar a função P(x):
\frac{4x}{1+2x} = 2 - \frac{2}{1+2x}.
(Para ver isso: suponha \dfrac{4x}{1+2x}=a+\dfrac{b}{1+2x}. Igualando coeficientes obtemos a=2 e b=-2.)
Agora integramos:
\int P(x)\,dx = \int\left(2 - \frac{2}{1+2x}\right)dx = 2x -2\int\frac{1}{1+2x}\,dx.
A integral \int\frac{1}{1+2x}\,dx é \dfrac{1}{2}\ln(1+2x). Portanto
\int P(x)\,dx = 2x -2\cdot\frac{1}{2}\ln(1+2x)=2x-\ln(1+2x).

Passo 5

Calcular e^{-\int P(x)\,dx}. Usando o resultado anterior,
e^{-\int P(x)\,dx}=e^{-(2x-\ln(1+2x))}=e^{-2x}\,e^{\ln(1+2x)}=(1+2x)\,e^{-2x}.
Agora aplicamos a fórmula para y_{2}:
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx = e^{-2x}\int \frac{(1+2x)\,e^{-2x}}{\bigl(e^{-2x}\bigr)^{2}}\,dx.
Note que \bigl(e^{-2x}\bigr)^{2}=e^{-4x}. Assim o integrando simplifica:
\frac{(1+2x)\,e^{-2x}}{e^{-4x}}=(1+2x)\,e^{2x}.
Portanto
y_{2}=e^{-2x}\int (1+2x)\,e^{2x}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral \int (1+2x)\,e^{2x}\,dx. Vamos fazer por partes (ou observar uma primitiva direta):
Separe:
\int (1+2x)e^{2x}\,dx = \int e^{2x}\,dx + 2\int x e^{2x}\,dx.
Calcule cada uma:
\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}.
Para \int x e^{2x}\,dx, use integração por partes: tome u=x e dv=e^{2x}dx. Então du=dx e v=\dfrac{1}{2}e^{2x}. Assim
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}.
Multiplicando por 2:
2\int x e^{2x}\,dx = x e^{2x} - \frac{1}{2}e^{2x}.
Somando com \dfrac{1}{2}e^{2x} obtemos
\int (1+2x)e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + \left(x e^{2x} - \frac{1}{2}e^{2x}\right) = x e^{2x} + C.
Portanto podemos escolher a primitiva (ignorando a constante porque só precisamos de uma solução) como x e^{2x}.

Passo 7

Voltar para y_{2}:
y_{2}=e^{-2x}\cdot \bigl(x e^{2x}\bigr) = x.
Concluímos que y_{2}(x)=x é uma solução da equação original. É fácil verificar substituindo diretamente na equação: para y=x temos y'=1 e y''=0, então
(1+2x)\cdot 0 + 4x\cdot 1 -4\cdot x = 4x-4x=0,
logo realmente satisfaz a equação.
Também é claro que y_{1}=e^{-2x} e y_{2}=x são linearmente independentes (por exemplo, o Wronskiano não é identicamente zero), então formam um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

y_{2}=x

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