Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo
. Esboce a região e uma casca típica.
em torno de
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por
,
,
e
em torno da reta
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- As curvas que limitam a região são
(parábola), (eixo ) e as retas verticais e . - O intervalo em
é . - O eixo de rotação é a reta vertical
. - Pede-se o volume do sólido gerado por essa rotação e que se esboce a região e uma casca típica.
Passo 2
Esboço e descrição da região (descrição para você desenhar):
- Desenhe o eixo
horizontal e o eixo vertical. - Desenhe a parábola
. Para entre e a parábola vai de até . - Marque as retas verticais
e . A região é o “retângulo curvo” entre essas retas, limitada acima pela parábola e abaixo por . Ou seja, para cada a região contém o segmento vertical de até . - Esboce também a reta vertical
(eixo de rotação) à esquerda da região. - Uma casca típica é obtida ao tomar uma tira vertical em uma abscissa
com pequena espessura ; ao girar essa tira em torno de ela gera uma casca cilíndrica de raio igual à distância horizontal entre a tira e , altura igual ao comprimento do segmento vertical da região em , e espessura .
Passo 3
Ideia do método das cascas cilíndricas (aula rápida e prática):
- Quando uma tira vertical em
com espessura é girada em torno de uma reta vertical (aqui ), ela gera uma casca cilíndrica (como a casquinha de uma lata). - A fórmula aproximada do volume dessa casca é: área lateral da casca
espessura. A área lateral de um cilindro fino é a sua circunferência vezes a altura. Assim, o elemento de volume é
- Aqui cada termo significa:
-
= distância horizontal do eixo até a tira em . -
= valor superior da região em menos o valor inferior (aqui ). -
= espessura da tira.
-
- Para usar no problema precisamos expressar raio e altura como funções de
e integrar de até .
Passo 4
Determine raio, altura e escreva
:
- Raio: para um ponto vertical na abscissa
a distância até é
pois
neste intervalo. (Se o eixo fosse à direita, seria
; aqui é
.)
- Altura: a função superior é
e a inferior é , então
- Espessura:
.
Portanto o elemento de volume da casca é
Passo 5
Montagem da integral do volume:
Somando (integrando) todas as cascas de até
obtemos
Somando (integrando) todas as cascas de
Passo 6
Simplifique o integrando e prepare para integrar:
Multiplicando . Assim
Multiplicando
Passo 7
Calcule a integral passo a passo:
- Antiderivadas:
e . - Logo uma primitiva do integrando é
. Aplicando os limites:
- Calcule no ponto
:
- Calcule no ponto
:
- Subtraindo:
- Multiplicando por
:
Passo 8
Verificação rápida e incentivo:
- O volume é positivo, como esperado.
- Interpretando: giramos uma faixa do gráfico
que tem altura crescente ao redor de ; o resultado é o volume total. - Mandou bem por encarar esse exercício! Na prova, siga exatamente esses passos: desenhe, identifique raio e altura, escreva
e integre.