Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo x. Esboce a região e uma casca típica.
y=x^{2}, y=0, x=1, x=2 ; em torno de x=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y=x^{2}, y=0, x=1 e x=2 em torno da reta x=1.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • As curvas que limitam a região são y=x^{2} (parábola), y=0 (eixo x) e as retas verticais x=1 e x=2.
  • O intervalo em x é 1\le x\le2.
  • O eixo de rotação é a reta vertical x=1.
  • Pede-se o volume do sólido gerado por essa rotação e que se esboce a região e uma casca típica.

Passo 2

Esboço e descrição da região (descrição para você desenhar):
  • Desenhe o eixo x horizontal e o eixo y vertical.
  • Desenhe a parábola y=x^{2}. Para x entre 1 e 2 a parábola vai de y=1 até y=4.
  • Marque as retas verticais x=1 e x=2. A região é o “retângulo curvo” entre essas retas, limitada acima pela parábola y=x^{2} e abaixo por y=0. Ou seja, para cada x\in[1,2] a região contém o segmento vertical de y=0 até y=x^{2}.
  • Esboce também a reta vertical x=1 (eixo de rotação) à esquerda da região.
  • Uma casca típica é obtida ao tomar uma tira vertical em uma abscissa x com pequena espessura dx; ao girar essa tira em torno de x=1 ela gera uma casca cilíndrica de raio igual à distância horizontal entre a tira e x=1, altura igual ao comprimento do segmento vertical da região em x, e espessura dx.

Passo 3

Ideia do método das cascas cilíndricas (aula rápida e prática):
  • Quando uma tira vertical em x com espessura dx é girada em torno de uma reta vertical (aqui x=1), ela gera uma casca cilíndrica (como a casquinha de uma lata).
  • A fórmula aproximada do volume dessa casca é: área lateral da casca \times espessura. A área lateral de um cilindro fino é a sua circunferência (2\pi \times \text{raio}) vezes a altura. Assim, o elemento de volume é
dV = 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot dx.
  • Aqui cada termo significa:
    • \text{raio} = distância horizontal do eixo x=1 até a tira em x.
    • \text{altura} = valor superior da região em y menos o valor inferior (aqui y_{\text{top}}-y_{\text{bot}}).
    • dx = espessura da tira.
  • Para usar no problema precisamos expressar raio e altura como funções de x e integrar dV de x=1 até x=2.

Passo 4

Determine raio, altura e escreva dV:
  • Raio: para um ponto vertical na abscissa x a distância até x=1 é
r(x)=x-1,
pois x\ge1 neste intervalo. (Se o eixo fosse à direita, seria 1-x; aqui é x-1.)
  • Altura: a função superior é y=x^{2} e a inferior é y=0, então
h(x)=x^{2}-0=x^{2}.
  • Espessura: dx.
    Portanto o elemento de volume da casca é
dV = 2\pi\,(x-1)\,x^{2}\,dx.

Passo 5

Montagem da integral do volume:
Somando (integrando) todas as cascas de x=1 até x=2 obtemos
V = \int_{1}^{2} 2\pi\,(x-1)\,x^{2}\,dx.

Passo 6

Simplifique o integrando e prepare para integrar:
Multiplicando (x-1)\,x^{2} = x^{3}-x^{2}. Assim
V = 2\pi \int_{1}^{2} (x^{3}-x^{2})\,dx.

Passo 7

Calcule a integral passo a passo:
  • Antiderivadas: \displaystyle \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} e \displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
  • Logo uma primitiva do integrando é \displaystyle \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}. Aplicando os limites:
V = 2\pi\left[\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}.
  • Calcule no ponto x=2:
\frac{2^{4}}{4}-\frac{2^{3}}{3}=\frac{16}{4}-\frac{8}{3}=4-\frac{8}{3}=\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3}.
  • Calcule no ponto x=1:
\frac{1^{4}}{4}-\frac{1^{3}}{3}=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{3-4}{12}=-\frac{1}{12}.
  • Subtraindo:
\frac{4}{3}-\left(-\frac{1}{12}\right)=\frac{4}{3}+\frac{1}{12}=\frac{16}{12}+\frac{1}{12}=\frac{17}{12}.
  • Multiplicando por 2\pi:
V = 2\pi\cdot\frac{17}{12}=\frac{34\pi}{12}=\frac{17\pi}{6}.

Passo 8

Verificação rápida e incentivo:
  • O volume é positivo, como esperado.
  • Interpretando: giramos uma faixa do gráfico x\in[1,2] que tem altura crescente x^{2} ao redor de x=1; o resultado \dfrac{17\pi}{6} é o volume total.
  • Mandou bem por encarar esse exercício! Na prova, siga exatamente esses passos: desenhe, identifique raio e altura, escreva dV e integre.

Resposta

\displaystyle \frac{17\pi}{6}

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