Resolva o PVI usando qualquer método.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial (sem condição inicial explícita) descrito pela equação diferencial
que é uma equação de primeira ordem e linear em
. Vamos resolvê-la usando o método do fator integrante.
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
Dividindo toda a equação por
(supondo
), obtemos
Aqui
e
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
pela fórmula
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
, obtendo
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Assim,
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Para
usamos integração por partes:
E
Portanto,
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Despejamos
dividindo por
:
Podemos também escrever de forma mais compacta:
Resposta
A solução geral da equação é
com
constante arbitrária.