Resolva o PVI usando qualquer método.
x \frac{d y}{d x}=2 x e^{x}-y+6 x^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (sem condição inicial explícita) descrito pela equação diferencial
x \frac{dy}{dx} = 2x e^{x} - y + 6x^{2},
que é uma equação de primeira ordem e linear em y(x). Vamos resolvê-la usando o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).
Dividindo toda a equação por x (supondo x\neq0), obtemos
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = 2e^{x} + 6x.
Aqui P(x)=\tfrac{1}{x} e Q(x)=2e^{x}+6x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(x) pela fórmula
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx} =e^{\int \frac{1}{x}\,dx} =e^{\ln x} =x.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x, obtendo
x\frac{dy}{dx} + y = 2x e^{x} + 6x^{2}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x\,y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(xy\bigr) =x\frac{dy}{dx}+y.
Assim,
\frac{d}{dx}\bigl(xy\bigr) =2x e^{x}+6x^{2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x\,y =\int\bigl(2x e^{x}+6x^{2}\bigr)\,dx =\int2x e^{x}\,dx+\int6x^{2}\,dx.
Para \int2x e^{x}\,dx usamos integração por partes:
\int2x e^{x}\,dx =2\bigl(x e^{x}-\int e^{x}\,dx\bigr) =2x e^{x}-2e^{x}.
E
\int6x^{2}\,dx =2x^{3}.
Portanto,
x\,y = \bigl(2x e^{x}-2e^{x}\bigr)+2x^{3}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Despejamos y dividindo por x:
y =\frac{2x e^{x}-2e^{x}+2x^{3}+C}{x} =2e^{x}-2\frac{e^{x}}{x}+2x^{2}+\frac{C}{x}.
Podemos também escrever de forma mais compacta:
y=2e^{x}\frac{x-1}{x}+2x^{2}+\frac{C}{x}.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) =2e^{x}-2\frac{e^{x}}{x}+2x^{2}+\frac{C}{x},
com C constante arbitrária.

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